Номер 1.27, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.27, страница 15.

1.27 Задайте с помощью знака модуля множество точек координатной оси:

а) $(-2; 2)$;

б) $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$;

в) $[-5; 5]$;

г) $[-2; 4]$;

д) $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$;

е) $(-10; 2)$.

Чтобы задать множество точек на координатной оси с помощью знака модуля, можно использовать геометрический смысл модуля. Выражение $|x-a|$ представляет собой расстояние на координатной оси между точками с координатами $x$ и $a$.

• Неравенство вида $|x-a| \le r$ задает множество точек, удаленных от точки $a$ на расстояние, не большее $r$. Это замкнутый отрезок $[a-r, a+r]$. Центр отрезка — точка $a$, а его полудлина — $r$.
• Неравенство вида $|x-a| < r$ задает открытый интервал $(a-r, a+r)$.
• Неравенство вида $|x-a| \ge r$ задает множество точек, удаленных от точки $a$ на расстояние, не меньшее $r$. Это объединение двух лучей $(-\infty, a-r] \cup [a+r, \infty)$.
• Неравенство вида $|x-a| > r$ задает объединение двух открытых лучей $(-\infty, a-r) \cup (a+r, \infty)$.

Для нахождения центра $a$ и полудлины $r$ для отрезка $[c, d]$ или интервала $(c, d)$ используются формулы:

Центр: $a = \frac{c+d}{2}$

Полудлина: $r = \frac{d-c}{2}$

а)

Дано множество $(-2; 2)$. Это открытый интервал, симметричный относительно нуля. Центр интервала $a = \frac{-2+2}{2} = 0$. Полудлина интервала $r = \frac{2-(-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Так как интервал открытый, используем неравенство вида $|x-a| < r$. Подставляя значения $a=0$ и $r=2$, получаем: $|x-0| < 2$, что равносильно $|x| < 2$.

Ответ: $|x| < 2$.

б)

Дано множество $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$. Это объединение двух замкнутых лучей, симметричных относительно нуля. Множество состоит из точек, расстояние от которых до начала координат больше или равно 3. Центр $a = \frac{-3+3}{2} = 0$. Расстояние от центра до "граничных" точек равно $r = 3$. Так как лучи замкнутые и направлены "наружу", используем неравенство вида $|x-a| \ge r$. Подставляя значения, получаем: $|x-0| \ge 3$, то есть $|x| \ge 3$.

Ответ: $|x| \ge 3$.

в)

Дано множество $[-5; 5]$. Это замкнутый отрезок, симметричный относительно нуля. Центр отрезка $a = \frac{-5+5}{2} = 0$. Полудлина отрезка $r = \frac{5-(-5)}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Так как отрезок замкнутый, используем неравенство вида $|x-a| \le r$. Подставляя значения, получаем: $|x-0| \le 5$, то есть $|x| \le 5$.

Ответ: $|x| \le 5$.

г)

Дано множество $[-2; 4]$. Это замкнутый отрезок, несимметричный относительно нуля. Найдем его центр и полудлину. Центр отрезка $a = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Полудлина отрезка $r = \frac{4-(-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Так как отрезок замкнутый, используем неравенство вида $|x-a| \le r$. Подставляя значения $a=1$ и $r=3$, получаем: $|x-1| \le 3$.

Ответ: $|x-1| \le 3$.

д)

Дано множество $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$. Это объединение двух открытых лучей. Множество описывает точки, лежащие вне интервала $(-3, 1)$. Центр "исключенного" интервала $a = \frac{-3+1}{2} = -1$. Полудлина "исключенного" интервала $r = \frac{1-(-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Искомое множество состоит из точек, расстояние от которых до центра $a=-1$ строго больше $r=2$. Используем неравенство вида $|x-a| > r$. Подставляя значения, получаем: $|x-(-1)| > 2$, что равносильно $|x+1| > 2$.

Ответ: $|x+1| > 2$.

е)

Дано множество $(-10; 2)$. Это открытый интервал, несимметричный относительно нуля. Найдем его центр и полудлину. Центр интервала $a = \frac{-10+2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$. Полудлина интервала $r = \frac{2-(-10)}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Так как интервал открытый, используем неравенство вида $|x-a| < r$. Подставляя значения $a=-4$ и $r=6$, получаем: $|x-(-4)| < 6$, что равносильно $|x+4| < 6$.

Ответ: $|x+4| < 6$.