Страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.21° Как обозначают множества:

а) натуральных чисел;

б) целых чисел;

в) рациональных чисел;

г) действительных чисел?

а) натуральных чисел

Множество натуральных чисел, то есть чисел, используемых при счете предметов (1, 2, 3 и так далее), обозначается заглавной латинской буквой N. Для отличия от обычной буквы, ее часто пишут специальным шрифтом, который называется "ажурный" или "blackboard bold": $\mathbb{N}$. Таким образом, множество натуральных чисел записывается как $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. В некоторых математических традициях 0 также включают в множество натуральных чисел, но в стандартном курсе математики в России и многих других странах натуральные числа начинаются с 1.
Ответ: $\mathbb{N}$

б) целых чисел

Множество целых чисел включает в себя все натуральные числа, им противоположные отрицательные числа и ноль. Оно обозначается заглавной латинской буквой Z, что происходит от немецкого слова Zahlen (числа). Эта буква также пишется в ажурном стиле: $\mathbb{Z}$. Таким образом, множество целых чисел записывается как $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$. Множество натуральных чисел является подмножеством множества целых чисел, что можно записать как $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$.
Ответ: $\mathbb{Z}$

в) рациональных чисел

Множество рациональных чисел — это все числа, которые можно представить в виде дроби $\frac{m}{n}$, где числитель $m$ — целое число ($m \in \mathbb{Z}$), а знаменатель $n$ — натуральное число ($n \in \mathbb{N}$). Это множество обозначается заглавной латинской буквой Q, от слова Quotient (частное), в ажурном начертании: $\mathbb{Q}$. К рациональным числам относятся все целые и дробные числа (как положительные, так и отрицательные), которые можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Множество целых чисел является подмножеством множества рациональных чисел: $\mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
Ответ: $\mathbb{Q}$

г) действительных чисел

Множество действительных (или вещественных) чисел объединяет все рациональные и иррациональные числа. Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть представлены в виде дроби $\frac{m}{n}$ (например, $\sqrt{2}$, $\pi$, число Эйлера $e$). Множество действительных чисел обозначается заглавной латинской буквой R, от английского слова Real (действительный), в ажурном стиле: $\mathbb{R}$. Геометрически множество действительных чисел представляет собой все точки на числовой прямой. Множество рациональных чисел является подмножеством действительных: $\mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Ответ: $\mathbb{R}$

1.22 Запишите числовой промежуток с помощью неравенств:

а) $[3; 5]$

б) $(3; 5)$

в) $[3; 5)$

г) $(3; 5]$

д) $[3; +\infty)$

е) $(3; +\infty)$

ж) $(-\infty; 5)$

з) $(-\infty; 5]$

Изобразите каждый из них на координатной оси.

а)

Числовой промежуток $[3; 5]$ — это отрезок, который включает в себя все действительные числа $x$, удовлетворяющие условию "больше или равно 3" и "меньше или равно 5". Квадратные скобки означают, что концы промежутка (числа 3 и 5) также входят в него. В виде двойного неравенства это записывается как $3 \le x \le 5$.

На координатной оси этот промежуток изображается в виде отрезка с закрашенными (сплошными) точками на концах, что указывает на включение этих точек в промежуток. Область между точками 3 и 5 заштриховывается.

 3 5------●===========●------>

Ответ: $3 \le x \le 5$.

б)

Числовой промежуток $(3; 5)$ — это интервал, который включает в себя все действительные числа $x$, удовлетворяющие условию "строго больше 3" и "строго меньше 5". Круглые скобки означают, что концы промежутка (числа 3 и 5) не входят в него. В виде двойного неравенства это записывается как $3 < x < 5$.

На координатной оси этот промежуток изображается в виде отрезка с выколотыми (пустыми) точками на концах, что указывает на исключение этих точек из промежутка. Область между точками 3 и 5 заштриховывается.

 3 5------○===========○------>

Ответ: $3 < x < 5$.

в)

Числовой промежуток $[3; 5)$ — это полуинтервал, который включает в себя все действительные числа $x$, удовлетворяющие условию "больше или равно 3" и "строго меньше 5". Квадратная скобка у числа 3 означает, что оно включено в промежуток, а круглая скобка у числа 5 — что оно исключено. В виде двойного неравенства это записывается как $3 \le x < 5$.

На координатной оси этот промежуток изображается с закрашенной точкой в 3 и выколотой точкой в 5. Область между этими точками заштриховывается.

 3 5------●===========○------>

Ответ: $3 \le x < 5$.

г)

Числовой промежуток $(3; 5]$ — это полуинтервал, который включает в себя все действительные числа $x$, удовлетворяющие условию "строго больше 3" и "меньше или равно 5". Круглая скобка у числа 3 означает, что оно исключено из промежутка, а квадратная скобка у числа 5 — что оно включено. В виде двойного неравенства это записывается как $3 < x \le 5$.

На координатной оси этот промежуток изображается с выколотой точкой в 3 и закрашенной точкой в 5. Область между этими точками заштриховывается.

 3 5------○===========●------>

Ответ: $3 < x \le 5$.

д)

Числовой промежуток $[3; +∞)$ — это луч, который включает в себя все действительные числа $x$, которые больше или равны 3. Квадратная скобка означает, что число 3 входит в промежуток. Знак $+\infty$ (плюс бесконечность) показывает, что промежуток не ограничен справа. В виде неравенства это записывается как $x \ge 3$.

На координатной оси этот промежуток изображается в виде луча, начинающегося с закрашенной точки 3 и уходящего вправо (в сторону увеличения чисел).

 3------●==================>

Ответ: $x \ge 3$.

е)

Числовой промежуток $(3; +∞)$ — это открытый луч, который включает в себя все действительные числа $x$, которые строго больше 3. Круглая скобка означает, что число 3 не входит в промежуток. В виде неравенства это записывается как $x > 3$.

На координатной оси этот промежуток изображается в виде луча, начинающегося с выколотой точки 3 и уходящего вправо.

 3------○==================>

Ответ: $x > 3$.

ж)

Числовой промежуток $(−∞; 5)$ — это открытый луч, который включает в себя все действительные числа $x$, которые строго меньше 5. Знак $-\infty$ (минус бесконечность) показывает, что промежуток не ограничен слева. Круглая скобка означает, что число 5 не входит в промежуток. В виде неравенства это записывается как $x < 5$.

На координатной оси этот промежуток изображается в виде луча, идущего слева и заканчивающегося выколотой точкой 5.

 5<==================○------>

Ответ: $x < 5$.

з)

Числовой промежуток $(−∞; 5]$ — это луч, который включает в себя все действительные числа $x$, которые меньше или равны 5. Квадратная скобка означает, что число 5 входит в промежуток. В виде неравенства это записывается как $x \le 5$.

На координатной оси этот промежуток изображается в виде луча, идущего слева и заканчивающегося закрашенной точкой 5.

 5<==================●------>

Ответ: $x \le 5$.

1.23 С помощью знаков $\in$ и $\notin$ запишите, какое из данных чисел принадлежит данному числовому промежутку, а какое нет:

а) 2, -3, 0, $[-2; 2)$;

б) -5, 7, 2, $(-5; 2)$;

в) -6, 0, 6, $(-\infty; 5)$;

г) -5, 100, 0, $[0; +\infty)$.

а)

Дан числовой промежуток $[-2; 2)$, который представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих двойному неравенству $-2 \le x < 2$. Квадратная скобка означает, что левая граница (-2) включается в промежуток, а круглая скобка — что правая граница (2) не включается.
Проверим принадлежность каждого из данных чисел (2, -3, 0) этому промежутку:
- Для числа 2: Проверяем неравенство $-2 \le 2 < 2$. Вторая часть неравенства, $2 < 2$, является ложной. Следовательно, число 2 не принадлежит промежутку. Запись: $2 \notin [-2; 2)$.
- Для числа -3: Проверяем неравенство $-2 \le -3 < 2$. Первая часть неравенства, $-2 \le -3$, является ложной. Следовательно, число -3 не принадлежит промежутку. Запись: $-3 \notin [-2; 2)$.
- Для числа 0: Проверяем неравенство $-2 \le 0 < 2$. Обе части неравенства верны. Следовательно, число 0 принадлежит промежутку. Запись: $0 \in [-2; 2)$.

Ответ: $2 \notin [-2; 2)$; $-3 \notin [-2; 2)$; $0 \in [-2; 2)$.

б)

Дан числовой промежуток $(-5; 2)$, который представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих строгому двойному неравенству $-5 < x < 2$. Круглые скобки означают, что обе границы (-5 и 2) не включаются в промежуток.
Проверим принадлежность каждого из данных чисел (-5, 7, 2) этому промежутку:
- Для числа -5: Проверяем неравенство $-5 < -5 < 2$. Первая часть, $-5 < -5$, является ложной. Следовательно, число -5 не принадлежит промежутку. Запись: $-5 \notin (-5; 2)$.
- Для числа 7: Проверяем неравенство $-5 < 7 < 2$. Вторая часть, $7 < 2$, является ложной. Следовательно, число 7 не принадлежит промежутку. Запись: $7 \notin (-5; 2)$.
- Для числа 2: Проверяем неравенство $-5 < 2 < 2$. Вторая часть, $2 < 2$, является ложной. Следовательно, число 2 не принадлежит промежутку. Запись: $2 \notin (-5; 2)$.

Ответ: $-5 \notin (-5; 2)$; $7 \notin (-5; 2)$; $2 \notin (-5; 2)$.

в)

Дан числовой промежуток $(-\infty; 5)$, который представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x < 5$. Этот промежуток включает все числа, которые строго меньше 5.
Проверим принадлежность каждого из данных чисел (-6, 0, 6) этому промежутку:
- Для числа -6: Проверяем неравенство $-6 < 5$. Неравенство верно. Следовательно, число -6 принадлежит промежутку. Запись: $-6 \in (-\infty; 5)$.
- Для числа 0: Проверяем неравенство $0 < 5$. Неравенство верно. Следовательно, число 0 принадлежит промежутку. Запись: $0 \in (-\infty; 5)$.
- Для числа 6: Проверяем неравенство $6 < 5$. Неравенство ложно. Следовательно, число 6 не принадлежит промежутку. Запись: $6 \notin (-\infty; 5)$.

Ответ: $-6 \in (-\infty; 5)$; $0 \in (-\infty; 5)$; $6 \notin (-\infty; 5)$.

г)

Дан числовой промежуток $[0; +\infty)$, который представляет собой множество всех чисел $x$, удовлетворяющих неравенству $x \ge 0$. Этот промежуток включает число 0 и все положительные числа.
Проверим принадлежность каждого из данных чисел (-5, 100, 0) этому промежутку:
- Для числа -5: Проверяем неравенство $-5 \ge 0$. Неравенство ложно. Следовательно, число -5 не принадлежит промежутку. Запись: $-5 \notin [0; +\infty)$.
- Для числа 100: Проверяем неравенство $100 \ge 0$. Неравенство верно. Следовательно, число 100 принадлежит промежутку. Запись: $100 \in [0; +\infty)$.
- Для числа 0: Проверяем неравенство $0 \ge 0$. Неравенство верно (так как $0 = 0$). Следовательно, число 0 принадлежит промежутку. Запись: $0 \in [0; +\infty)$.

Ответ: $-5 \notin [0; +\infty)$; $100 \in [0; +\infty)$; $0 \in [0; +\infty)$.

1.24 Изобразите на координатной оси числовые промежутки A и B, найдите их объединение и пересечение, если:

а) $A = [-3; 4]$, $B = [0; 7)$;

б) $A = (-\infty; 0)$, $B = (-3; 7]$;

в) $A = (-\infty; 2]$, $B = [2; 5)$;

г) $A = (-7; 2)$, $B = [0; 7)$;

д) $A = [-2; 0)$, $B = (0; 2]$;

е) $A = (-5; 0]$, $B = (-1; 3]$.

а) Даны числовые промежутки $A = [-3; 4]$ и $B = [0; 7)$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ представляет собой отрезок от -3 до 4. Так как скобки квадратные, обе граничные точки, -3 и 4, включаются в промежуток и на оси отмечаются закрашенными точками. Промежуток $B$ — это полуинтервал от 0 до 7. Точка 0 включается (квадратная скобка) и отмечается закрашенной точкой, а точка 7 не включается (круглая скобка) и отмечается выколотой (пустой) точкой.
Объединение ($A \cup B$): Объединением является множество всех точек, принадлежащих хотя бы одному из промежутков. Оно охватывает все числа от наименьшего значения в обоих множествах (это -3 из $A$) до наибольшего (это 7 из $B$). Точка -3 входит в промежуток $A$, а значит, и в объединение. Точка 7 не входит в промежуток $B$ и не входит в $A$, поэтому она не входит и в объединение. Таким образом, $A \cup B = [-3; 7)$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечением является множество всех точек, принадлежащих обоим промежуткам одновременно. На координатной оси это общая, заштрихованная для обоих промежутков, часть. Эта часть начинается в точке 0 и заканчивается в точке 4. Точка 0 входит в оба промежутка, точка 4 также входит в оба промежутка. Таким образом, $A \cap B = [0; 4]$.
Ответ: Объединение $A \cup B = [-3; 7)$. Пересечение $A \cap B = [0; 4]$.

б) Даны числовые промежутки $A = (-\infty; 0)$ и $B = (-3; 7]$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это открытый луч, идущий от 0 влево до минус бесконечности; точка 0 не включается и отмечается выколотой точкой. Промежуток $B$ — это полуинтервал от -3 до 7; точка -3 не включается (выколотая точка), а точка 7 включается (закрашенная точка).
Объединение ($A \cup B$): Объединение включает все числа из обоих промежутков. Оно начинается от минус бесконечности (из промежутка $A$) и простирается до 7 (из промежутка $B$), включая эту точку. Таким образом, $A \cup B = (-\infty; 7]$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечение — это общая часть двух промежутков. Они пересекаются на интервале от -3 до 0. Точка -3 не входит в $B$, поэтому не входит в пересечение. Точка 0 не входит в $A$, поэтому также не входит в пересечение. Таким образом, $A \cap B = (-3; 0)$.
Ответ: Объединение $A \cup B = (-\infty; 7]$. Пересечение $A \cap B = (-3; 0)$.

в) Даны числовые промежутки $A = (-\infty; 2]$ и $B = [2; 5)$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это замкнутый луч, идущий от 2 влево до минус бесконечности, включая точку 2 (закрашенная точка). Промежуток $B$ — это полуинтервал от 2 до 5, включая 2 (закрашенная точка), но не включая 5 (выколотая точка).
Объединение ($A \cup B$): Промежутки "стыкуются" в точке 2, которая принадлежит обоим. Объединение представляет собой непрерывный луч от минус бесконечности до 5. Точка 5 не включается. Таким образом, $A \cup B = (-\infty; 5)$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечение — это общая часть. Единственная точка, которая принадлежит одновременно и промежутку $A$, и промежутку $B$, — это точка 2. Таким образом, пересечение состоит из одного элемента. $A \cap B = \{2\}$.
Ответ: Объединение $A \cup B = (-\infty; 5)$. Пересечение $A \cap B = \{2\}$.

г) Даны числовые промежутки $A = (-7; 2)$ и $B = [0; 7)$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это интервал от -7 до 2, не включая концы (обе точки выколотые). Промежуток $B$ — это полуинтервал от 0 до 7, включая 0 (закрашенная точка), но не включая 7 (выколотая точка).
Объединение ($A \cup B$): Объединение — это промежуток от наименьшего значения (-7) до наибольшего (7). Точка -7 не включается (из $A$), точка 7 также не включается (из $B$). Таким образом, $A \cup B = (-7; 7)$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечение — это общая часть. Промежутки перекрываются от 0 до 2. Точка 0 входит в $B$ и в $A$ (т.к. $-7 < 0 < 2$), поэтому она входит в пересечение. Точка 2 не входит в $A$, поэтому не входит в пересечение. Таким образом, $A \cap B = [0; 2)$.
Ответ: Объединение $A \cup B = (-7; 7)$. Пересечение $A \cap B = [0; 2)$.

д) Даны числовые промежутки $A = [-2; 0)$ и $B = (0; 2]$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это полуинтервал от -2 до 0, включая -2 (закрашенная точка), но не включая 0 (выколотая точка). Промежуток $B$ — это полуинтервал от 0 до 2, не включая 0 (выколотая точка), но включая 2 (закрашенная точка). Между ними есть "разрыв" в точке 0.
Объединение ($A \cup B$): Объединение включает все числа из $A$ и все числа из $B$. Это все числа от -2 (включительно) до 2 (включительно), за исключением точки 0, которая не принадлежит ни одному из промежутков. Такое объединение записывается как два отдельных промежутка: $A \cup B = [-2; 0) \cup (0; 2]$.
Пересечение ($A \cap B$): Промежутки не имеют общих точек. Левый промежуток ($A$) содержит числа, строго меньшие 0, а правый ($B$) — строго большие 0. Таким образом, их пересечение является пустым множеством. $A \cap B = \emptyset$.
Ответ: Объединение $A \cup B = [-2; 0) \cup (0; 2]$. Пересечение $A \cap B = \emptyset$.

е) Даны числовые промежутки $A = (-5; 0]$ и $B = (-1; 3]$.
Изображение на координатной оси: Промежуток $A$ — это полуинтервал от -5 до 0, не включая -5 (выколотая точка), но включая 0 (закрашенная точка). Промежуток $B$ — это полуинтервал от -1 до 3, не включая -1 (выколотая точка), но включая 3 (закрашенная точка).
Объединение ($A \cup B$): Объединение — это промежуток от наименьшего значения (-5) до наибольшего (3). Точка -5 не включается (из $A$). Точка 3 включается (из $B$). Таким образом, $A \cup B = (-5; 3]$.
Пересечение ($A \cap B$): Пересечение — это общая часть. Промежутки перекрываются от -1 до 0. Точка -1 не входит в $B$, поэтому не входит в пересечение. Точка 0 входит и в $A$, и в $B$ (т.к. $-1 < 0 \le 3$), поэтому входит в пересечение. Таким образом, $A \cap B = (-1; 0]$.
Ответ: Объединение $A \cup B = (-5; 3]$. Пересечение $A \cap B = (-1; 0]$.

1.25* Докажите, что:

а) если $a - b > 0$, то $a > b$;

б) если $a - b < 0$, то $a < b$;

в) если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$;

г) если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$;

д) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$;

е) если $a < b$, то $a^3 < b^3$;

ж) если $0 < a < b < c$, то $ab < c^2$;

з) если $a > 0, b > 0$ и $a^2 < b^2$, то $a < b$.

а) Дано неравенство $a - b > 0$. По определению числового неравенства, если разность двух чисел положительна, то первое число больше второго. Формально, можно прибавить к обеим частям неравенства одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится. Прибавим к обеим частям число $b$: $a - b + b > 0 + b$. После упрощения получаем $a > b$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Дано неравенство $a - b < 0$. По определению числового неравенства, если разность двух чисел отрицательна, то первое число меньше второго. Формально, прибавим к обеим частям неравенства число $b$: $a - b + b < 0 + b$. После упрощения получаем $a < b$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в) Дано, что $0 < a < b$. Нужно доказать, что $a^2 < b^2$. Рассмотрим разность квадратов $b^2 - a^2$. Разложим ее на множители: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$. Из условия $a < b$ следует, что $b - a > 0$. Из условия $a > 0$ и $b > 0$ следует, что их сумма также положительна: $a + b > 0$. Произведение двух положительных чисел $(b - a)$ и $(b + a)$ является положительным числом, следовательно, $(b - a)(b + a) > 0$. Таким образом, $b^2 - a^2 > 0$. Отсюда, согласно пункту а), следует, что $b^2 > a^2$, или $a^2 < b^2$.
Ответ: Доказано.

г) Дано, что $a < b$ и $c < 0$. Нужно доказать, что $ac > bc$. Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем общий множитель $c$: $ac - bc = c(a - b)$. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна: $a - b < 0$. По условию, $c < 0$. Произведение двух отрицательных чисел ($c$ и $a - b$) является положительным числом, значит $c(a - b) > 0$. Таким образом, $ac - bc > 0$. Отсюда, согласно пункту а), следует, что $ac > bc$.
Ответ: Доказано.

д) Дано, что $a < b < 0$. Нужно доказать, что $a^2 > b^2$. Рассмотрим разность квадратов $a^2 - b^2$. Разложим ее на множители: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Из условия $a < b$ следует, что $a - b < 0$. Так как $a$ и $b$ оба отрицательны ($a < 0$ и $b < 0$), их сумма $a + b$ также отрицательна: $a + b < 0$. Произведение двух отрицательных чисел $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом, следовательно, $(a - b)(a + b) > 0$. Таким образом, $a^2 - b^2 > 0$. Отсюда, согласно пункту а), следует, что $a^2 > b^2$.
Ответ: Доказано.

е) Дано, что $a < b$. Нужно доказать, что $a^3 < b^3$. Рассмотрим разность кубов $b^3 - a^3$. Разложим ее на множители по формуле разности кубов: $b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$. Из условия $a < b$ следует, что $b - a > 0$. Теперь рассмотрим второй множитель $a^2 + ab + b^2$. Этот трехчлен является неполным квадратом суммы и всегда положителен при любых $a$ и $b$, не равных одновременно нулю. Чтобы это показать, представим его в виде $a^2 + ab + b^2 = (a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2) + \frac{3}{4}b^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $(a + \frac{1}{2}b)^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Сумма этих слагаемых равна нулю только если $b=0$ и $a=0$. Но по условию $a < b$, поэтому они не могут быть одновременно равны нулю. Следовательно, выражение $a^2 + ab + b^2$ всегда строго положительно. Поскольку оба множителя $(b-a)$ и $(a^2+ab+b^2)$ положительны, их произведение также положительно: $b^3 - a^3 > 0$. Отсюда, согласно пункту а), следует, что $b^3 > a^3$, или $a^3 < b^3$.
Ответ: Доказано.

ж) Дано, что $0 < a < b < c$. Нужно доказать, что $ab < c^2$. Из условия $0 < a < b < c$ следует, что $a < c$ и $b < c$. Так как все числа $a, b, c$ положительны, мы можем перемножать неравенства. Умножим обе части неравенства $b < c$ на положительное число $a$. Получим $ab < ac$. Теперь умножим обе части неравенства $a < c$ на положительное число $c$. Получим $ac < c^2$. Таким образом, мы имеем два неравенства: $ab < ac$ и $ac < c^2$. По свойству транзитивности для неравенств, из этого следует, что $ab < c^2$.
Ответ: Доказано.

з) Дано, что $a > 0$, $b > 0$ и $a^2 < b^2$. Нужно доказать, что $a < b$. Перепишем неравенство $a^2 < b^2$ в виде $b^2 - a^2 > 0$. Разложим разность квадратов на множители: $(b - a)(b + a) > 0$. По условию, $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b$ также положительна: $a + b > 0$. Мы имеем произведение двух множителей $(b - a)$ и $(b + a)$, которое больше нуля. Так как один из множителей $(b + a)$ положителен, для того чтобы произведение было положительным, второй множитель $(b - a)$ также должен быть положительным. Итак, $b - a > 0$. Согласно пункту а), из этого следует, что $b > a$, или $a < b$.
Ответ: Доказано.

1.26 Укажите на координатной оси все числа $x$, для каждого из которых верно неравенство:

а) $|x| \le 3;$

б) $|x| \ge 4;$

в) $|2x| > 5;$

г) $|3x| < 7;$

д) $|x - 3| \ge 2;$

е) $|x + 3| \le 5;$

ж) $|2x - 3| > 5;$

з) $|3x + 4| < 7;$

и) $|5x - 4| \le 6.$

Задайте множество решений неравенства в виде промежутка или объединения промежутков.

а) Неравенство $|x| \le 3$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной оси не больше 3. Это равносильно двойному неравенству:
$-3 \le x \le 3$.
На координатной оси это множество точек, составляющих отрезок от -3 до 3, включая концы.
Ответ: $x \in [-3, 3]$.

б) Неравенство $|x| \ge 4$ означает, что расстояние от точки $x$ до нуля на координатной оси не меньше 4. Это равносильно совокупности двух неравенств:
$x \le -4$ или $x \ge 4$.
На координатной оси это множество точек, состоящее из двух лучей: один направлен от 4 в сторону увеличения (включая точку 4), а другой — от -4 в сторону уменьшения (включая точку -4).
Ответ: $x \in (-\infty, -4] \cup [4, +\infty)$.

в) Неравенство $|2x| > 5$ равносильно совокупности двух неравенств:
$2x < -5$ или $2x > 5$.
Решим каждое из них:
1) $2x < -5 \Rightarrow x < -5/2 \Rightarrow x < -2.5$.
2) $2x > 5 \Rightarrow x > 5/2 \Rightarrow x > 2.5$.
На координатной оси это объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -2.5)$ и $(2.5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -2.5) \cup (2.5, +\infty)$.

г) Неравенство $|3x| < 7$ равносильно двойному неравенству:
$-7 < 3x < 7$.
Разделим все части неравенства на 3:
$-7/3 < x < 7/3$.
На координатной оси это интервал от $-7/3$ до $7/3$, не включая концы.
Ответ: $x \in (-7/3, 7/3)$.

д) Неравенство $|x - 3| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств:
$x - 3 \le -2$ или $x - 3 \ge 2$.
Решим каждое из них:
1) $x - 3 \le -2 \Rightarrow x \le 1$.
2) $x - 3 \ge 2 \Rightarrow x \ge 5$.
На координатной оси это объединение двух лучей: $(-\infty, 1]$ и $[5, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, 1] \cup [5, +\infty)$.

е) Неравенство $|x + 3| \le 5$ равносильно двойному неравенству:
$-5 \le x + 3 \le 5$.
Вычтем 3 из всех частей неравенства:
$-5 - 3 \le x \le 5 - 3$.
$-8 \le x \le 2$.
На координатной оси это отрезок от -8 до 2, включая концы.
Ответ: $x \in [-8, 2]$.

ж) Неравенство $|2x - 3| > 5$ равносильно совокупности двух неравенств:
$2x - 3 < -5$ или $2x - 3 > 5$.
Решим каждое из них:
1) $2x - 3 < -5 \Rightarrow 2x < -2 \Rightarrow x < -1$.
2) $2x - 3 > 5 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4$.
На координатной оси это объединение двух открытых лучей: $(-\infty, -1)$ и $(4, +\infty)$.
Ответ: $x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty)$.

з) Неравенство $|3x + 4| < 7$ равносильно двойному неравенству:
$-7 < 3x + 4 < 7$.
Вычтем 4 из всех частей неравенства:
$-7 - 4 < 3x < 7 - 4$.
$-11 < 3x < 3$.
Разделим все части неравенства на 3:
$-11/3 < x < 1$.
На координатной оси это интервал от $-11/3$ до 1, не включая концы.
Ответ: $x \in (-11/3, 1)$.

и) Неравенство $|5x - 4| \le 6$ равносильно двойному неравенству:
$-6 \le 5x - 4 \le 6$.
Прибавим 4 ко всем частям неравенства:
$-6 + 4 \le 5x \le 6 + 4$.
$-2 \le 5x \le 10$.
Разделим все части неравенства на 5:
$-2/5 \le x \le 2$.
На координатной оси это отрезок от -0.4 (или $-2/5$) до 2, включая концы.
Ответ: $x \in [-2/5, 2]$.

1.27 Задайте с помощью знака модуля множество точек координатной оси:

а) $(-2; 2)$;

б) $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$;

в) $[-5; 5]$;

г) $[-2; 4]$;

д) $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$;

е) $(-10; 2)$.

Чтобы задать множество точек на координатной оси с помощью знака модуля, можно использовать геометрический смысл модуля. Выражение $|x-a|$ представляет собой расстояние на координатной оси между точками с координатами $x$ и $a$.

• Неравенство вида $|x-a| \le r$ задает множество точек, удаленных от точки $a$ на расстояние, не большее $r$. Это замкнутый отрезок $[a-r, a+r]$. Центр отрезка — точка $a$, а его полудлина — $r$.
• Неравенство вида $|x-a| < r$ задает открытый интервал $(a-r, a+r)$.
• Неравенство вида $|x-a| \ge r$ задает множество точек, удаленных от точки $a$ на расстояние, не меньшее $r$. Это объединение двух лучей $(-\infty, a-r] \cup [a+r, \infty)$.
• Неравенство вида $|x-a| > r$ задает объединение двух открытых лучей $(-\infty, a-r) \cup (a+r, \infty)$.

Для нахождения центра $a$ и полудлины $r$ для отрезка $[c, d]$ или интервала $(c, d)$ используются формулы:

Центр: $a = \frac{c+d}{2}$

Полудлина: $r = \frac{d-c}{2}$

Дано множество $(-2; 2)$. Это открытый интервал, симметричный относительно нуля. Центр интервала $a = \frac{-2+2}{2} = 0$. Полудлина интервала $r = \frac{2-(-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Так как интервал открытый, используем неравенство вида $|x-a| < r$. Подставляя значения $a=0$ и $r=2$, получаем: $|x-0| < 2$, что равносильно $|x| < 2$.

Ответ: $|x| < 2$.

Дано множество $(-\infty; -3] \cup [3; +\infty)$. Это объединение двух замкнутых лучей, симметричных относительно нуля. Множество состоит из точек, расстояние от которых до начала координат больше или равно 3. Центр $a = \frac{-3+3}{2} = 0$. Расстояние от центра до "граничных" точек равно $r = 3$. Так как лучи замкнутые и направлены "наружу", используем неравенство вида $|x-a| \ge r$. Подставляя значения, получаем: $|x-0| \ge 3$, то есть $|x| \ge 3$.

Ответ: $|x| \ge 3$.

Дано множество $[-5; 5]$. Это замкнутый отрезок, симметричный относительно нуля. Центр отрезка $a = \frac{-5+5}{2} = 0$. Полудлина отрезка $r = \frac{5-(-5)}{2} = \frac{10}{2} = 5$. Так как отрезок замкнутый, используем неравенство вида $|x-a| \le r$. Подставляя значения, получаем: $|x-0| \le 5$, то есть $|x| \le 5$.

Ответ: $|x| \le 5$.

Дано множество $[-2; 4]$. Это замкнутый отрезок, несимметричный относительно нуля. Найдем его центр и полудлину. Центр отрезка $a = \frac{-2+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$. Полудлина отрезка $r = \frac{4-(-2)}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Так как отрезок замкнутый, используем неравенство вида $|x-a| \le r$. Подставляя значения $a=1$ и $r=3$, получаем: $|x-1| \le 3$.

Ответ: $|x-1| \le 3$.

Дано множество $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$. Это объединение двух открытых лучей. Множество описывает точки, лежащие вне интервала $(-3, 1)$. Центр "исключенного" интервала $a = \frac{-3+1}{2} = -1$. Полудлина "исключенного" интервала $r = \frac{1-(-3)}{2} = \frac{4}{2} = 2$. Искомое множество состоит из точек, расстояние от которых до центра $a=-1$ строго больше $r=2$. Используем неравенство вида $|x-a| > r$. Подставляя значения, получаем: $|x-(-1)| > 2$, что равносильно $|x+1| > 2$.

Ответ: $|x+1| > 2$.

Дано множество $(-10; 2)$. Это открытый интервал, несимметричный относительно нуля. Найдем его центр и полудлину. Центр интервала $a = \frac{-10+2}{2} = \frac{-8}{2} = -4$. Полудлина интервала $r = \frac{2-(-10)}{2} = \frac{12}{2} = 6$. Так как интервал открытый, используем неравенство вида $|x-a| < r$. Подставляя значения $a=-4$ и $r=6$, получаем: $|x-(-4)| < 6$, что равносильно $|x+4| < 6$.

Ответ: $|x+4| < 6$.

1.28* a) Установите взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$; $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Q}$.

б) Покажите, что между множествами всех точек прямой и всех точек интервала $(0; 1)$ можно установить взаимно-однозначное соответствие.

а)

Соответствие между множествами N и Z

Чтобы установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ и множеством целых чисел $Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$, нужно показать, что эти множества равномощны. Для этого достаточно представить все целые числа в виде последовательности, т.е. пронумеровать их.

Расположим элементы множества $Z$ в следующем порядке:
$0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots$

В этой последовательности каждое целое число встречается ровно один раз. Теперь мы можем сопоставить каждому натуральному числу $n \in N$ соответствующий элемент из этой последовательности. Это соответствие задается функцией $f: N \to Z$:

• $f(1) = 0$
• $f(2) = 1$
• $f(3) = -1$
• $f(4) = 2$
• $f(5) = -2$
• и т.д.

Можно записать аналитическую формулу для этой функции. Четным натуральным числам $n=2k$ сопоставляются положительные целые числа $k$, а нечетным $n=2k-1$ — ноль и отрицательные целые числа $-(k-1)$.
$f(n) = \begin{cases} n/2, & \text{если } n \text{ — четное} \\ -(n-1)/2, & \text{если } n \text{ — нечетное} \end{cases}$
Эта функция является биекцией (взаимно-однозначным отображением), так как каждому элементу из $N$ соответствует единственный элемент из $Z$, и наоборот, для любого целого числа $z \in Z$ можно найти единственное натуральное число $n \in N$: если $z > 0$, то $n = 2z$; если $z \le 0$, то $n = 1 - 2z$.

Ответ: Взаимно-однозначное соответствие между $N$ и $Z$ установлено с помощью функции $f(n)$, которая сопоставляет четным $n$ число $n/2$, а нечетным $n$ — число $-(n-1)/2$.

Соответствие между множествами N и Q

Чтобы установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N$ и множеством рациональных чисел $Q$, нужно показать, что множество $Q$ является счетным.

Сначала докажем, что множество положительных рациональных чисел $Q_+$ счетно. Каждое положительное рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $p/q$, где $p, q \in N$. Расположим все дроби $p/q$ в виде бесконечной таблицы:

1/1 2/1 3/1 4/1 ...
1/2 2/2 3/2 4/2 ...
1/3 2/3 3/3 4/3 ...
1/4 2/4 3/4 4/4 ...
... ... ... ... ...

Теперь мы можем обойти эту таблицу "змейкой" по диагоналям, начиная с левого верхнего угла. При обходе будем выписывать числа в последовательность, пропуская те дроби, которые уже встречались (например, $2/2 = 1/1$, $2/4 = 1/2$).

Последовательность будет выглядеть так:
$1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, \dots$

Этот процесс позволяет пронумеровать все положительные рациональные числа, то есть установить биекцию $h: N \to Q_+$.

Теперь, чтобы включить все рациональные числа (положительные, отрицательные и ноль), мы можем использовать ту же идею, что и для целых чисел. Построим новую биекцию $g: N \to Q$:

• $g(1) = 0$
• $g(2k) = h(k)$ для $k \in N$ (четные натуральные номера отображаются в положительные рациональные числа)
• $g(2k-1) = -h(k-1)$ для $k \in N, k > 1$ (нечетные натуральные номера, кроме 1, отображаются в отрицательные рациональные числа). Или проще: $g(2k+1) = -h(k)$ для $k \in N$.

Таким образом, множество рациональных чисел $Q$ является счетным.

Ответ: Взаимно-однозначное соответствие между $N$ и $Q$ устанавливается путем нумерации всех рациональных чисел. Сначала нумеруются все положительные рациональные числа с помощью диагонального метода Кантора, а затем эта нумерация используется для сопоставления натуральных чисел всем элементам $Q$, включая ноль и отрицательные числа.

б)

Чтобы показать, что между множеством всех точек прямой (которое можно отождествить с множеством вещественных чисел $R$) и множеством всех точек интервала $(0; 1)$ можно установить взаимно-однозначное соответствие, необходимо построить биективную функцию $f: (0; 1) \to R$.

Мы можем сделать это в два шага, используя композицию функций.

Шаг 1: Построим биекцию из интервала $(0; 1)$ в интервал $(-\pi/2; \pi/2)$. Для этого можно использовать линейное преобразование $g(x) = ax + b$. Мы хотим, чтобы концам интервала $(0; 1)$ соответствовали концы интервала $(-\pi/2; \pi/2)$.
$\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\pi/2 \implies a \cdot 0 + b = -\pi/2 \implies b = -\pi/2$.
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \pi/2 \implies a \cdot 1 + b = \pi/2 \implies a - \pi/2 = \pi/2 \implies a = \pi$.
Таким образом, функция $g(x) = \pi x - \pi/2 = \pi(x - 1/2)$ является биекцией из $(0; 1)$ в $(-\pi/2; \pi/2)$.

Шаг 2: Известно, что функция тангенса $h(y) = \tan(y)$ осуществляет биективное отображение интервала $(-\pi/2; \pi/2)$ на всю вещественную прямую $R$.

Композиция: Теперь мы можем построить искомую биекцию $f: (0; 1) \to R$ как композицию функций $g$ и $h$:
$f(x) = h(g(x)) = \tan(\pi(x - 1/2))$

Поскольку $f(x)$ является композицией двух биекций, она также является биекцией. Это означает, что для каждой точки $x$ из интервала $(0; 1)$ существует единственная соответствующая точка $y$ на всей прямой $R$, и наоборот. Таким образом, взаимно-однозначное соответствие установлено.

Ответ: Взаимно-однозначное соответствие между множеством точек интервала $(0; 1)$ и множеством точек прямой $R$ можно установить с помощью биективной функции $f(x) = \tan(\pi(x - 1/2))$.