Страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.11 Укажите на координатной оси числа $a$ и $-a$, если:

а) $a = 3$;

б) $a = -4$.

а)

По условию дано, что $a = 3$. Необходимо найти и указать на координатной оси числа $a$ и $-a$.

Значение числа $a$ уже известно: $a = 3$.

Чтобы найти значение $-a$, нужно подставить значение $a$ в это выражение. Число $-a$ является противоположным числу $a$. $$-a = -(3) = -3$$

Теперь отметим эти два числа на координатной оси. Координатная ось — это прямая, на которой выбрано начало отсчета (точка 0), единичный отрезок и положительное направление (обычно вправо).

• Число $a = 3$ является положительным, поэтому оно располагается на 3 единичных отрезка правее нуля.
• Число $-a = -3$ является отрицательным, поэтому оно располагается на 3 единичных отрезка левее нуля.

Схематическое изображение на координатной оси:

Ответ: Число $a$ соответствует точке 3 на координатной оси, а число $-a$ соответствует точке -3.

б)

По условию дано, что $a = -4$. Необходимо найти и указать на координатной оси числа $a$ и $-a$.

Значение числа $a$ нам известно: $a = -4$.

Чтобы найти значение $-a$, подставим значение $a$ в это выражение. $$-a = -(-4)$$ Так как "минус на минус дает плюс", получаем: $$-a = 4$$

Теперь отметим эти два числа на координатной оси.

• Число $a = -4$ является отрицательным, поэтому оно располагается на 4 единичных отрезка левее нуля.
• Число $-a = 4$ является положительным, поэтому оно располагается на 4 единичных отрезка правее нуля.

Схематическое изображение на координатной оси:

Ответ: Число $a$ соответствует точке -4 на координатной оси, а число $-a$ соответствует точке 4.

1.12 Вычислите расстояние между точками A $(a)$ и B $(b)$ координатной оси, если:

а) $a = 5, b = -1;$

б) $a = -7, b = 8;$

в) $a = -13,5, b = -11;$

г) $a = -55, b = -10.$

Для вычисления расстояния между двумя точками $A(a)$ и $B(b)$ на координатной оси используется формула, основанная на нахождении модуля разности их координат. Расстояние $d$ равно:

$d = |a - b|$.

Применим эту формулу для каждого из предложенных случаев.

а) Координаты точек: $a = 5$ и $b = -1$.

Расстояние между ними вычисляется как модуль их разности:

$d = |5 - (-1)| = |5 + 1| = |6| = 6$.

Ответ: 6

б) Координаты точек: $a = -7$ и $b = 8$.

Вычислим расстояние:

$d = |-7 - 8| = |-15| = 15$.

Ответ: 15

в) Координаты точек: $a = -13,5$ и $b = -11$.

Вычислим расстояние:

$d = |-13,5 - (-11)| = |-13,5 + 11| = |-2,5| = 2,5$.

Можно также вычислить расстояние как $d = |b - a|$, результат будет тем же:

$d = |-11 - (-13,5)| = |-11 + 13,5| = |2,5| = 2,5$.

Ответ: 2,5

г) Координаты точек: $a = -55$ и $b = -10$.

Вычислим расстояние:

$d = |-55 - (-10)| = |-55 + 10| = |-45| = 45$.

Ответ: 45

1.13° a) В каком случае говорят, что задана прямоугольная система координат?

б) Как называют оси $Ox$ и $Oy$?

в) Что такое абсцисса точки; ордината точки?

а) Говорят, что на плоскости задана прямоугольная система координат, если выбраны две взаимно перпендикулярные прямые (оси координат) с общим началом отсчета (точкой их пересечения), и на каждой из осей выбрано положительное направление и задан единичный отрезок, определяющий масштаб.
Ответ: Прямоугольная система координат считается заданной, если на плоскости выбраны две взаимно перпендикулярные координатные оси с общим началом отсчета и единым масштабом.

б) Ось $Ox$ называют осью абсцисс. Ось $Oy$ называют осью ординат.
Ответ: Ось $Ox$ – ось абсцисс, ось $Oy$ – ось ординат.

в) Каждой точке $M$ на координатной плоскости соответствует пара чисел $(x, y)$, которые называются ее координатами.
Абсцисса точки – это ее координата на оси $Ox$, то есть первое число $x$ в паре $(x, y)$. Она показывает расстояние от точки до оси $Oy$ (вдоль оси $Ox$).
Ордината точки – это ее координата на оси $Oy$, то есть второе число $y$ в паре $(x, y)$. Она показывает расстояние от точки до оси $Ox$ (вдоль оси $Oy$).
Ответ: Абсцисса – это первая координата точки ($x$), ордината – это вторая координата точки ($y$).

1.14 Вычислите расстояние между точками $A (x_1; y_1)$ и $B (x_2; y_2)$ координатной плоскости, если:

a) $x_1 = 2, y_1 = 7; x_2 = -1, y_2 = 3;$

б) $x_1 = -3, y_1 = -7, x_2 = 2, y_2 = 5.$

Для вычисления расстояния между двумя точками $A(x_1; y_1)$ и $B(x_2; y_2)$ на координатной плоскости используется формула, которая является следствием теоремы Пифагора:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

где $d$ — это расстояние между точками A и B.

а) Даны координаты точек: $x_1 = 2, y_1 = 7$ и $x_2 = -1, y_2 = 3$. То есть, точка A имеет координаты $(2; 7)$, а точка B — $(-1; 3)$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения расстояния $d$ между точками A и B:

$d = \sqrt{(-1 - 2)^2 + (3 - 7)^2}$

Выполним вычисления внутри скобок:

$d = \sqrt{(-3)^2 + (-4)^2}$

Возведем числа в квадрат:

$d = \sqrt{9 + 16}$

Сложим значения под корнем:

$d = \sqrt{25}$

Извлечем квадратный корень:

$d = 5$

Ответ: 5

б) Даны координаты точек: $x_1 = -3, y_1 = -7$ и $x_2 = 2, y_2 = 5$. То есть, точка A имеет координаты $(-3; -7)$, а точка B — $(2; 5)$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения расстояния $d$ между точками A и B:

$d = \sqrt{(2 - (-3))^2 + (5 - (-7))^2}$

Выполним вычисления внутри скобок (помним, что минус на минус дает плюс):

$d = \sqrt{(2 + 3)^2 + (5 + 7)^2}$

$d = \sqrt{5^2 + 12^2}$

Возведем числа в квадрат:

$d = \sqrt{25 + 144}$

Сложим значения под корнем:

$d = \sqrt{169}$

Извлечем квадратный корень:

$d = 13$

Ответ: 13

1.15 Найдите все числа x, для каждого из которых верно равенство:

а) $|x| = 3;$ б) $|x| = 5;$ в) $|x - 3| = 2;$

г) $|x + 3| = 5;$ д) $|2x - 3| = 4;$ е) $|3x + 4| = 2.$

Укажите их на координатной оси.

Для решения уравнений с модулем используется основное свойство модуля: равенство $|A| = b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$. Это означает, что выражение под знаком модуля может быть равно как положительному, так и отрицательному значению числа, стоящего в правой части.

а) $|x| = 3$

Данное равенство означает, что $x$ может быть равен $3$ или $-3$.

1. $x = 3$

2. $x = -3$

На координатной оси эти числа представляют собой две точки, равноудаленные от нуля на расстояние 3.

Ответ: $x = -3, x = 3$.

б) $|x| = 5$

Равенство равносильно совокупности:

1. $x = 5$

2. $x = -5$

На координатной оси это две точки, находящиеся на расстоянии 5 от нуля.

Ответ: $x = -5, x = 5$.

в) $|x - 3| = 2$

Раскрываем модуль, рассматривая два случая:

1. $x - 3 = 2 \implies x = 2 + 3 \implies x = 5$

2. $x - 3 = -2 \implies x = -2 + 3 \implies x = 1$

Решениями являются числа 1 и 5. На координатной оси это точки, удаленные от точки 3 на расстояние 2.

Ответ: $x = 1, x = 5$.

г) $|x + 3| = 5$

Раскрываем модуль:

1. $x + 3 = 5 \implies x = 5 - 3 \implies x = 2$

2. $x + 3 = -5 \implies x = -5 - 3 \implies x = -8$

Решения: -8 и 2. На оси это точки, удаленные от точки -3 на расстояние 5.

Ответ: $x = -8, x = 2$.

д) $|2x - 3| = 4$

Раскрываем модуль:

1. $2x - 3 = 4 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2} = 3.5$

2. $2x - 3 = -4 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} = -0.5$

Решения: -0.5 и 3.5.

Ответ: $x = -0.5, x = 3.5$.

е) $|3x + 4| = 2$

Раскрываем модуль:

1. $3x + 4 = 2 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$

2. $3x + 4 = -2 \implies 3x = -6 \implies x = -2$

Решения: -2 и -2/3.

Ответ: $x = -2, x = -\frac{2}{3}$.

1.16 Решите уравнение:

а) $|x|=10;$

б) $|x|=9;$

в) $|2x|=3;$

г) $|3x|=7;$

д) $|x-5|=12;$

е) $|x+2|=7;$

ж) $|2x-5|=7;$

з) $|3x+5|=8;$

и) $|5x-8|=0.$

а) Решение уравнения $|x| = 10$.

По определению, модуль числа — это расстояние от этого числа до нуля на координатной прямой. Уравнение $|x| = 10$ означает, что мы ищем числа, расстояние от которых до нуля равно 10. Таких чисел два: 10 и -10.

Формально, уравнение вида $|A| = B$ (где $B \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ и $A = -B$.

В данном случае получаем:

$x = 10$ или $x = -10$.

Ответ: $x_1 = 10, x_2 = -10$.

б) Решение уравнения $|x| = 9$.

Аналогично предыдущему пункту, ищем числа, модуль которых равен 9. Такими числами являются 9 и -9.

Совокупность уравнений:

$x = 9$ или $x = -9$.

Ответ: $x_1 = 9, x_2 = -9$.

в) Решение уравнения $|2x| = 3$.

Данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $2x = 3$. Решая его, находим $x = \frac{3}{2}$.

2) $2x = -3$. Решая его, находим $x = -\frac{3}{2}$.

Ответ: $x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = -\frac{3}{2}$.

г) Решение уравнения $|3x| = 7$.

Уравнение распадается на два случая:

1) $3x = 7 \implies x = \frac{7}{3}$.

2) $3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}$.

Ответ: $x_1 = \frac{7}{3}, x_2 = -\frac{7}{3}$.

д) Решение уравнения $|x - 5| = 12$.

Выражение под знаком модуля, $x-5$, должно быть равно либо 12, либо -12.

1) $x - 5 = 12 \implies x = 12 + 5 \implies x = 17$.

2) $x - 5 = -12 \implies x = -12 + 5 \implies x = -7$.

Ответ: $x_1 = 17, x_2 = -7$.

е) Решение уравнения $|x + 2| = 7$.

Рассматриваем два случая для подмодульного выражения:

1) $x + 2 = 7 \implies x = 7 - 2 \implies x = 5$.

2) $x + 2 = -7 \implies x = -7 - 2 \implies x = -9$.

Ответ: $x_1 = 5, x_2 = -9$.

ж) Решение уравнения $|2x - 5| = 7$.

Уравнение равносильно совокупности двух линейных уравнений:

1) $2x - 5 = 7 \implies 2x = 12 \implies x = \frac{12}{2} \implies x = 6$.

2) $2x - 5 = -7 \implies 2x = -2 \implies x = \frac{-2}{2} \implies x = -1$.

Ответ: $x_1 = 6, x_2 = -1$.

з) Решение уравнения $|3x + 5| = 8$.

Раскрываем модуль, получая два случая:

1) $3x + 5 = 8 \implies 3x = 3 \implies x = 1$.

2) $3x + 5 = -8 \implies 3x = -13 \implies x = -\frac{13}{3}$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -\frac{13}{3}$.

и) Решение уравнения $|5x - 8| = 0$.

Модуль выражения равен нулю тогда и только тогда, когда само выражение равно нулю. Поэтому данное уравнение имеет единственное решение и равносильно уравнению:

$5x - 8 = 0$

$5x = 8$

$x = \frac{8}{5}$

Ответ: $x = \frac{8}{5}$.

1.17* Решите уравнение:

a) $||x|-2|=10$;

б) $||x|-9|=7$.

а) $||x| - 2| = 10$

Данное уравнение с двойным модулем решается путем последовательного раскрытия модулей, начиная с внешнего. Уравнение вида $|A| = b$, где $b \ge 0$, равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$.

В нашем случае, выражение под внешним модулем — это $|x| - 2$. Следовательно, уравнение распадается на два случая:

1) $|x| - 2 = 10$

2) $|x| - 2 = -10$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Решим первое уравнение:

$|x| - 2 = 10$

$|x| = 10 + 2$

$|x| = 12$

Это уравнение имеет два решения: $x_1 = 12$ и $x_2 = -12$.

2) Решим второе уравнение:

$|x| - 2 = -10$

$|x| = -10 + 2$

$|x| = -8$

Данное уравнение не имеет решений, так как модуль любого действительного числа является неотрицательной величиной ($|x| \ge 0$).

Таким образом, решения исходного уравнения — это только решения из первого случая.

Ответ: $-12; 12$.

б) $||x| - 9| = 7$

Решаем аналогично пункту а), раскрывая внешний модуль. Уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

1) $|x| - 9 = 7$

2) $|x| - 9 = -7$

Рассмотрим каждый случай отдельно.

1) Решим первое уравнение:

$|x| - 9 = 7$

$|x| = 7 + 9$

$|x| = 16$

Отсюда получаем два решения: $x_1 = 16$ и $x_2 = -16$.

2) Решим второе уравнение:

$|x| - 9 = -7$

$|x| = -7 + 9$

$|x| = 2$

Отсюда получаем еще два решения: $x_3 = 2$ и $x_4 = -2$.

Объединив все найденные корни из обоих случаев, получаем четыре решения исходного уравнения.

Ответ: $-16; -2; 2; 16$.

1.18* а) Докажите, что расстояние между точками A ($x_1$) и B ($x_2$) вычисляется по формуле AB = $|x_1 - x_2|$.

б) Докажите, что расстояние между точками A ($x_1$; $y_1$) и B ($x_2$; $y_2$) вычисляется по формуле

$AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

в) Докажите, что координата точки C ($x$) — середины отрезка AB, где A ($x_1$) и B ($x_2$), вычисляется по формуле $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

г) Докажите, что координаты точки C ($x$; $y$) — середины отрезка AB, где A ($x_1$; $y_1$) и B ($x_2$; $y_2$), вычисляются по формулам

$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$; $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

д) Докажите, что если точка C ($x$) принадлежит отрезку AB, где A ($x_1$) и B ($x_2$), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координата точки C вычисляется по формуле

$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$.

е) Докажите, что если точка C ($x$; $y$) принадлежит отрезку AB, где A ($x_1$; $y_1$) и B ($x_2$; $y_2$), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координаты точки C вычисляются по формулам: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$; $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$.

а) Докажите, что расстояние между точками A($x_1$) и B($x_2$) вычисляется по формуле $AB = |x_1 - x_2|$.

Расстояние между двумя точками на координатной прямой — это длина отрезка, соединяющего эти точки. Длина отрезка всегда является неотрицательной величиной. Рассмотрим два возможных случая расположения точек A($x_1$) и B($x_2$) на прямой.

1. Пусть координата точки A больше или равна координате точки B, то есть $x_1 \geq x_2$. Тогда расстояние $AB$ по определению равно разности большей и меньшей координат: $AB = x_1 - x_2$. В этом случае выражение $x_1 - x_2$ неотрицательно, поэтому по определению модуля $|x_1 - x_2| = x_1 - x_2$.

2. Пусть координата точки A меньше координаты точки B, то есть $x_1 < x_2$. Тогда расстояние $AB$ равно $x_2 - x_1$. В этом случае выражение $x_1 - x_2$ отрицательно, и по определению модуля $|x_1 - x_2| = -(x_1 - x_2) = x_2 - x_1$.

В обоих случаях расстояние $AB$ совпадает со значением выражения $|x_1 - x_2|$. Таким образом, формула доказана.

Ответ: $AB = |x_1 - x_2|$

б) Докажите, что расстояние между точками A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$) вычисляется по формуле $AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$.

Рассмотрим точки A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$) в декартовой системе координат. Построим прямоугольный треугольник, для которого отрезок AB является гипотенузой. Для этого проведем через точку A прямую, параллельную оси Oy, а через точку B — прямую, параллельную оси Ox. Пусть эти прямые пересекаются в точке C. Координаты точки C будут ($x_1$; $y_2$).

Треугольник ABC является прямоугольным с прямым углом при вершине C. Длины катетов AC и BC можно найти как расстояние между точками, лежащими на прямых, параллельных осям координат.

Длина катета AC, параллельного оси Oy, равна расстоянию между точками A($x_1$; $y_1$) и C($x_1$; $y_2$), которое составляет $|y_1 - y_2|$.
Длина катета BC, параллельного оси Ox, равна расстоянию между точками B($x_2$; $y_2$) и C($x_1$; $y_2$), которое составляет $|x_2 - x_1| = |x_1 - x_2|$.

По теореме Пифагора, квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов: $AB^2 = AC^2 + BC^2$.
Подставим длины катетов: $AB^2 = (|y_1 - y_2|)^2 + (|x_1 - x_2|)^2$.

Поскольку квадрат модуля числа равен квадрату самого числа ($|a|^2 = a^2$), мы можем записать: $AB^2 = (y_1 - y_2)^2 + (x_1 - x_2)^2$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей (и учитывая, что расстояние $AB$ не может быть отрицательным), получаем искомую формулу.

Ответ: $AB = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}$

в) Докажите, что координата точки C(x) — середины отрезка AB, где A($x_1$) и B($x_2$), вычисляется по формуле $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Если точка C(x) является серединой отрезка AB, то она равноудалена от его концов, то есть расстояние $AC$ равно расстоянию $CB$.

Используя формулу расстояния на прямой из пункта а), имеем: $AC = |x - x_1|$ и $CB = |x_2 - x|$.
Следовательно, $|x - x_1| = |x_2 - x|$.

Поскольку точка C лежит между A и B, ее координата $x$ находится между $x_1$ и $x_2$. Пусть, для определенности, $x_1 < x_2$, тогда $x_1 < x < x_2$. В этом случае $x - x_1 > 0$ и $x_2 - x > 0$, поэтому модули можно опустить: $x - x_1 = x_2 - x$.
Решим это уравнение относительно $x$:
$2x = x_1 + x_2$
$x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.
(Если бы мы предположили $x_2 < x_1$, то получили бы $-(x - x_1) = -(x_2 - x)$, что привело бы к тому же результату).

Ответ: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$

г) Докажите, что координаты точки C(x; y) — середины отрезка AB, где A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), вычисляются по формулам $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$; $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Пусть даны точки A($x_1$; $y_1$), B($x_2$; $y_2$) и C(x; y) — середина отрезка AB. Спроецируем эти точки на оси координат.

Проекциями точек A, B и C на ось Ox будут точки $A_x(x_1; 0)$, $B_x(x_2; 0)$ и $C_x(x; 0)$ соответственно. По теореме Фалеса (о пропорциональных отрезках), если параллельные прямые отсекают на одной прямой равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на любой другой прямой. Так как C — середина AB, то ее проекция $C_x$ будет серединой отрезка $A_x B_x$.

Используя формулу для середины отрезка на прямой из пункта в), находим абсциссу точки C: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}$.

Аналогично, проекциями точек A, B и C на ось Oy будут точки $A_y(0; y_1)$, $B_y(0; y_2)$ и $C_y(0; y)$. Точка $C_y$ будет серединой отрезка $A_y B_y$. Находим ординату точки C: $y = \frac{y_1 + y_2}{2}$.

Ответ: $x = \frac{x_1 + x_2}{2}; y = \frac{y_1 + y_2}{2}$

д) Докажите, что если точка C(x) принадлежит отрезку AB, где A($x_1$) и B($x_2$), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координата точки C вычисляется по формуле $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$.

По условию, точка C(x) делит отрезок AB в отношении $AC : CB = m : n$. Это можно записать в виде пропорции $\frac{AC}{CB} = \frac{m}{n}$, откуда $n \cdot AC = m \cdot CB$.

Длины отрезков равны $AC = |x - x_1|$ и $CB = |x_2 - x|$. Поскольку C лежит на отрезке AB, предположим, что $x_1 < x_2$. Тогда $x_1 < x < x_2$, и мы можем убрать знаки модуля: $AC = x - x_1$ и $CB = x_2 - x$.

Подставим эти выражения в равенство: $n(x - x_1) = m(x_2 - x)$.

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:
$nx - nx_1 = mx_2 - mx$
$nx + mx = nx_1 + mx_2$
$x(n + m) = nx_1 + mx_2$
$x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$.
Формула доказана (случай $x_2 < x_1$ рассматривается аналогично и приводит к тому же результату).

Ответ: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m + n}$

е) Докажите, что если точка C(x; y) принадлежит отрезку AB, где A($x_1$; $y_1$) и B($x_2$; $y_2$), и делит этот отрезок в отношении AC : CB = m : n, то координаты точки C вычисляются по формулам: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$; $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$.

Пусть точка C(x; y) делит отрезок AB в отношении $AC : CB = m : n$. Спроецируем точки A, B, C на координатные оси.

Проекциями точек A, B и C на ось Ox являются точки $A_x(x_1; 0)$, $B_x(x_2; 0)$ и $C_x(x; 0)$. По обобщенной теореме Фалеса, параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки. Следовательно, точка $C_x$ делит отрезок $A_x B_x$ в том же отношении: $A_x C_x : C_x B_x = m : n$.

Используя формулу из пункта д) для деления отрезка на прямой, находим абсциссу точки C: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}$.

Аналогично, спроецировав точки на ось Oy, получим, что точка $C_y(0; y)$ делит отрезок $A_y B_y$ (с концами $A_y(0; y_1)$ и $B_y(0; y_2)$) в отношении $m : n$. Отсюда находим ординату точки C: $y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$.

Ответ: $x = \frac{nx_1 + mx_2}{m+n}; y = \frac{ny_1 + my_2}{m+n}$