Номер 1.15, страница 9 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.15, страница 9.

1.15 Найдите все числа x, для каждого из которых верно равенство:

а) $|x| = 3;$ б) $|x| = 5;$ в) $|x - 3| = 2;$

г) $|x + 3| = 5;$ д) $|2x - 3| = 4;$ е) $|3x + 4| = 2.$

Укажите их на координатной оси.

Для решения уравнений с модулем используется основное свойство модуля: равенство $|A| = b$ (где $b \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = b$ или $A = -b$. Это означает, что выражение под знаком модуля может быть равно как положительному, так и отрицательному значению числа, стоящего в правой части.

а) $|x| = 3$

Данное равенство означает, что $x$ может быть равен $3$ или $-3$.

1. $x = 3$

2. $x = -3$

На координатной оси эти числа представляют собой две точки, равноудаленные от нуля на расстояние 3.

Ответ: $x = -3, x = 3$.

б) $|x| = 5$

Равенство равносильно совокупности:

1. $x = 5$

2. $x = -5$

На координатной оси это две точки, находящиеся на расстоянии 5 от нуля.

Ответ: $x = -5, x = 5$.

в) $|x - 3| = 2$

Раскрываем модуль, рассматривая два случая:

1. $x - 3 = 2 \implies x = 2 + 3 \implies x = 5$

2. $x - 3 = -2 \implies x = -2 + 3 \implies x = 1$

Решениями являются числа 1 и 5. На координатной оси это точки, удаленные от точки 3 на расстояние 2.

Ответ: $x = 1, x = 5$.

г) $|x + 3| = 5$

Раскрываем модуль:

1. $x + 3 = 5 \implies x = 5 - 3 \implies x = 2$

2. $x + 3 = -5 \implies x = -5 - 3 \implies x = -8$

Решения: -8 и 2. На оси это точки, удаленные от точки -3 на расстояние 5.

Ответ: $x = -8, x = 2$.

д) $|2x - 3| = 4$

Раскрываем модуль:

1. $2x - 3 = 4 \implies 2x = 7 \implies x = \frac{7}{2} = 3.5$

2. $2x - 3 = -4 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2} = -0.5$

Решения: -0.5 и 3.5.

Ответ: $x = -0.5, x = 3.5$.

е) $|3x + 4| = 2$

Раскрываем модуль:

1. $3x + 4 = 2 \implies 3x = -2 \implies x = -\frac{2}{3}$

2. $3x + 4 = -2 \implies 3x = -6 \implies x = -2$

Решения: -2 и -2/3.

Ответ: $x = -2, x = -\frac{2}{3}$.