Номер 1.19, страница 10 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.1. Понятие действительного числа. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.19, страница 10.

1.19* Докажите, что каждое из чисел $\sqrt{3}$ и $\sqrt[3]{2}$ иррациональное.

Доказательство иррациональности числа $\sqrt{3}$

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что число $\sqrt{3}$ является рациональным. Это означает, что его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, и их наибольший общий делитель НОД$(p, q) = 1$.

Из предположения $\sqrt{3} = \frac{p}{q}$ путем возведения обеих частей в квадрат получаем $3 = \frac{p^2}{q^2}$, откуда следует $p^2 = 3q^2$.

Равенство $p^2 = 3q^2$ показывает, что $p^2$ делится нацело на 3. Поскольку 3 — простое число, то если квадрат целого числа ($p^2$) делится на 3, то и само число ($p$) должно делиться на 3. Следовательно, $p$ можно представить в виде $p = 3k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это выражение для $p$ обратно в уравнение:
$(3k)^2 = 3q^2$
$9k^2 = 3q^2$
$q^2 = 3k^2$

Из последнего равенства $q^2 = 3k^2$ следует, что $q^2$ также делится нацело на 3, а значит, и само число $q$ делится на 3.

Таким образом, мы получили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ делятся на 3. Это противоречит нашему первоначальному условию, что дробь $\frac{p}{q}$ является несократимой (то есть НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие означает, что наше исходное предположение о рациональности числа $\sqrt{3}$ было неверным.

Ответ: Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение неверно, следовательно, число $\sqrt{3}$ иррациональное.

Доказательство иррациональности числа $\sqrt[3]{2}$

Доказательство проведем аналогично, методом от противного. Предположим, что число $\sqrt[3]{2}$ является рациональным. Тогда его можно представить в виде несократимой дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, $q$ — натуральное число, и НОД$(p, q) = 1$.

Из предположения $\sqrt[3]{2} = \frac{p}{q}$ путем возведения обеих частей в куб получаем $2 = \frac{p^3}{q^3}$, откуда следует $p^3 = 2q^3$.

Равенство $p^3 = 2q^3$ показывает, что $p^3$ является четным числом (делится на 2). Если куб целого числа является четным, то и само число является четным (так как куб нечетного числа всегда нечетен). Следовательно, $p$ — четное число, и его можно представить в виде $p = 2k$ для некоторого целого числа $k$.

Подставим это выражение для $p$ обратно в уравнение:
$(2k)^3 = 2q^3$
$8k^3 = 2q^3$
$q^3 = 4k^3$

Из последнего равенства $q^3 = 4k^3$ следует, что $q^3$ делится на 4, а значит, является четным числом. Следовательно, само число $q$ также должно быть четным.

Мы получили, что и числитель $p$, и знаменатель $q$ являются четными числами, то есть оба делятся на 2. Это противоречит нашему исходному предположению о том, что дробь $\frac{p}{q}$ несократима (НОД$(p, q) = 1$).

Полученное противоречие означает, что наше первоначальное предположение о рациональности числа $\sqrt[3]{2}$ было неверным.

Ответ: Полученное противоречие доказывает, что исходное предположение неверно, следовательно, число $\sqrt[3]{2}$ иррациональное.