Номер 1.25, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.25, страница 15.

1.25* Докажите, что:

а) если $a - b > 0$, то $a > b$;

б) если $a - b < 0$, то $a < b$;

в) если $0 < a < b$, то $a^2 < b^2$;

г) если $a < b$ и $c < 0$, то $ac > bc$;

д) если $a < b < 0$, то $a^2 > b^2$;

е) если $a < b$, то $a^3 < b^3$;

ж) если $0 < a < b < c$, то $ab < c^2$;

з) если $a > 0, b > 0$ и $a^2 < b^2$, то $a < b$.

а) Дано неравенство $a - b > 0$. По определению числового неравенства, если разность двух чисел положительна, то первое число больше второго. Формально, можно прибавить к обеим частям неравенства одно и то же число, при этом знак неравенства не изменится. Прибавим к обеим частям число $b$: $a - b + b > 0 + b$. После упрощения получаем $a > b$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

б) Дано неравенство $a - b < 0$. По определению числового неравенства, если разность двух чисел отрицательна, то первое число меньше второго. Формально, прибавим к обеим частям неравенства число $b$: $a - b + b < 0 + b$. После упрощения получаем $a < b$, что и требовалось доказать.
Ответ: Доказано.

в) Дано, что $0 < a < b$. Нужно доказать, что $a^2 < b^2$. Рассмотрим разность квадратов $b^2 - a^2$. Разложим ее на множители: $b^2 - a^2 = (b - a)(b + a)$. Из условия $a < b$ следует, что $b - a > 0$. Из условия $a > 0$ и $b > 0$ следует, что их сумма также положительна: $a + b > 0$. Произведение двух положительных чисел $(b - a)$ и $(b + a)$ является положительным числом, следовательно, $(b - a)(b + a) > 0$. Таким образом, $b^2 - a^2 > 0$. Отсюда, согласно пункту а), следует, что $b^2 > a^2$, или $a^2 < b^2$.
Ответ: Доказано.

г) Дано, что $a < b$ и $c < 0$. Нужно доказать, что $ac > bc$. Рассмотрим разность $ac - bc$. Вынесем общий множитель $c$: $ac - bc = c(a - b)$. Из условия $a < b$ следует, что разность $a - b$ отрицательна: $a - b < 0$. По условию, $c < 0$. Произведение двух отрицательных чисел ($c$ и $a - b$) является положительным числом, значит $c(a - b) > 0$. Таким образом, $ac - bc > 0$. Отсюда, согласно пункту а), следует, что $ac > bc$.
Ответ: Доказано.

д) Дано, что $a < b < 0$. Нужно доказать, что $a^2 > b^2$. Рассмотрим разность квадратов $a^2 - b^2$. Разложим ее на множители: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$. Из условия $a < b$ следует, что $a - b < 0$. Так как $a$ и $b$ оба отрицательны ($a < 0$ и $b < 0$), их сумма $a + b$ также отрицательна: $a + b < 0$. Произведение двух отрицательных чисел $(a - b)$ и $(a + b)$ является положительным числом, следовательно, $(a - b)(a + b) > 0$. Таким образом, $a^2 - b^2 > 0$. Отсюда, согласно пункту а), следует, что $a^2 > b^2$.
Ответ: Доказано.

е) Дано, что $a < b$. Нужно доказать, что $a^3 < b^3$. Рассмотрим разность кубов $b^3 - a^3$. Разложим ее на множители по формуле разности кубов: $b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$. Из условия $a < b$ следует, что $b - a > 0$. Теперь рассмотрим второй множитель $a^2 + ab + b^2$. Этот трехчлен является неполным квадратом суммы и всегда положителен при любых $a$ и $b$, не равных одновременно нулю. Чтобы это показать, представим его в виде $a^2 + ab + b^2 = (a^2 + ab + \frac{1}{4}b^2) + \frac{3}{4}b^2 = (a + \frac{1}{2}b)^2 + \frac{3}{4}b^2$. Так как квадрат любого числа неотрицателен, $(a + \frac{1}{2}b)^2 \ge 0$ и $\frac{3}{4}b^2 \ge 0$. Сумма этих слагаемых равна нулю только если $b=0$ и $a=0$. Но по условию $a < b$, поэтому они не могут быть одновременно равны нулю. Следовательно, выражение $a^2 + ab + b^2$ всегда строго положительно. Поскольку оба множителя $(b-a)$ и $(a^2+ab+b^2)$ положительны, их произведение также положительно: $b^3 - a^3 > 0$. Отсюда, согласно пункту а), следует, что $b^3 > a^3$, или $a^3 < b^3$.
Ответ: Доказано.

ж) Дано, что $0 < a < b < c$. Нужно доказать, что $ab < c^2$. Из условия $0 < a < b < c$ следует, что $a < c$ и $b < c$. Так как все числа $a, b, c$ положительны, мы можем перемножать неравенства. Умножим обе части неравенства $b < c$ на положительное число $a$. Получим $ab < ac$. Теперь умножим обе части неравенства $a < c$ на положительное число $c$. Получим $ac < c^2$. Таким образом, мы имеем два неравенства: $ab < ac$ и $ac < c^2$. По свойству транзитивности для неравенств, из этого следует, что $ab < c^2$.
Ответ: Доказано.

з) Дано, что $a > 0$, $b > 0$ и $a^2 < b^2$. Нужно доказать, что $a < b$. Перепишем неравенство $a^2 < b^2$ в виде $b^2 - a^2 > 0$. Разложим разность квадратов на множители: $(b - a)(b + a) > 0$. По условию, $a > 0$ и $b > 0$, следовательно, их сумма $a + b$ также положительна: $a + b > 0$. Мы имеем произведение двух множителей $(b - a)$ и $(b + a)$, которое больше нуля. Так как один из множителей $(b + a)$ положителен, для того чтобы произведение было положительным, второй множитель $(b - a)$ также должен быть положительным. Итак, $b - a > 0$. Согласно пункту а), из этого следует, что $b > a$, или $a < b$.
Ответ: Доказано.