Номер 1.28, страница 15 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.2. Множества чисел. Свойства действительных чисел. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.28, страница 15.

1.28* a) Установите взаимно-однозначное соответствие между элементами множеств $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Z}$; $\mathbb{N}$ и $\mathbb{Q}$.

б) Покажите, что между множествами всех точек прямой и всех точек интервала $(0; 1)$ можно установить взаимно-однозначное соответствие.

а)

Соответствие между множествами N и Z

Чтобы установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N = \{1, 2, 3, \dots\}$ и множеством целых чисел $Z = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\}$, нужно показать, что эти множества равномощны. Для этого достаточно представить все целые числа в виде последовательности, т.е. пронумеровать их.

Расположим элементы множества $Z$ в следующем порядке:
$0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, \dots$

В этой последовательности каждое целое число встречается ровно один раз. Теперь мы можем сопоставить каждому натуральному числу $n \in N$ соответствующий элемент из этой последовательности. Это соответствие задается функцией $f: N \to Z$:

• $f(1) = 0$
• $f(2) = 1$
• $f(3) = -1$
• $f(4) = 2$
• $f(5) = -2$
• и т.д.

Можно записать аналитическую формулу для этой функции. Четным натуральным числам $n=2k$ сопоставляются положительные целые числа $k$, а нечетным $n=2k-1$ — ноль и отрицательные целые числа $-(k-1)$.
$f(n) = \begin{cases} n/2, & \text{если } n \text{ — четное} \\ -(n-1)/2, & \text{если } n \text{ — нечетное} \end{cases}$
Эта функция является биекцией (взаимно-однозначным отображением), так как каждому элементу из $N$ соответствует единственный элемент из $Z$, и наоборот, для любого целого числа $z \in Z$ можно найти единственное натуральное число $n \in N$: если $z > 0$, то $n = 2z$; если $z \le 0$, то $n = 1 - 2z$.

Ответ: Взаимно-однозначное соответствие между $N$ и $Z$ установлено с помощью функции $f(n)$, которая сопоставляет четным $n$ число $n/2$, а нечетным $n$ — число $-(n-1)/2$.

---

Соответствие между множествами N и Q

Чтобы установить взаимно-однозначное соответствие между множеством натуральных чисел $N$ и множеством рациональных чисел $Q$, нужно показать, что множество $Q$ является счетным.

Сначала докажем, что множество положительных рациональных чисел $Q_+$ счетно. Каждое положительное рациональное число можно представить в виде несократимой дроби $p/q$, где $p, q \in N$. Расположим все дроби $p/q$ в виде бесконечной таблицы:

1/1 2/1 3/1 4/1 ...
1/2 2/2 3/2 4/2 ...
1/3 2/3 3/3 4/3 ...
1/4 2/4 3/4 4/4 ...
... ... ... ... ...

Теперь мы можем обойти эту таблицу "змейкой" по диагоналям, начиная с левого верхнего угла. При обходе будем выписывать числа в последовательность, пропуская те дроби, которые уже встречались (например, $2/2 = 1/1$, $2/4 = 1/2$).

Последовательность будет выглядеть так:
$1/1, 2/1, 1/2, 3/1, 1/3, 4/1, 3/2, 2/3, 1/4, \dots$

Этот процесс позволяет пронумеровать все положительные рациональные числа, то есть установить биекцию $h: N \to Q_+$.

Теперь, чтобы включить все рациональные числа (положительные, отрицательные и ноль), мы можем использовать ту же идею, что и для целых чисел. Построим новую биекцию $g: N \to Q$:

• $g(1) = 0$
• $g(2k) = h(k)$ для $k \in N$ (четные натуральные номера отображаются в положительные рациональные числа)
• $g(2k-1) = -h(k-1)$ для $k \in N, k > 1$ (нечетные натуральные номера, кроме 1, отображаются в отрицательные рациональные числа). Или проще: $g(2k+1) = -h(k)$ для $k \in N$.

Таким образом, множество рациональных чисел $Q$ является счетным.

Ответ: Взаимно-однозначное соответствие между $N$ и $Q$ устанавливается путем нумерации всех рациональных чисел. Сначала нумеруются все положительные рациональные числа с помощью диагонального метода Кантора, а затем эта нумерация используется для сопоставления натуральных чисел всем элементам $Q$, включая ноль и отрицательные числа.

б)

Чтобы показать, что между множеством всех точек прямой (которое можно отождествить с множеством вещественных чисел $R$) и множеством всех точек интервала $(0; 1)$ можно установить взаимно-однозначное соответствие, необходимо построить биективную функцию $f: (0; 1) \to R$.

Мы можем сделать это в два шага, используя композицию функций.

Шаг 1: Построим биекцию из интервала $(0; 1)$ в интервал $(-\pi/2; \pi/2)$. Для этого можно использовать линейное преобразование $g(x) = ax + b$. Мы хотим, чтобы концам интервала $(0; 1)$ соответствовали концы интервала $(-\pi/2; \pi/2)$.
$\lim_{x \to 0^+} g(x) = -\pi/2 \implies a \cdot 0 + b = -\pi/2 \implies b = -\pi/2$.
$\lim_{x \to 1^-} g(x) = \pi/2 \implies a \cdot 1 + b = \pi/2 \implies a - \pi/2 = \pi/2 \implies a = \pi$.
Таким образом, функция $g(x) = \pi x - \pi/2 = \pi(x - 1/2)$ является биекцией из $(0; 1)$ в $(-\pi/2; \pi/2)$.

Шаг 2: Известно, что функция тангенса $h(y) = \tan(y)$ осуществляет биективное отображение интервала $(-\pi/2; \pi/2)$ на всю вещественную прямую $R$.

Композиция: Теперь мы можем построить искомую биекцию $f: (0; 1) \to R$ как композицию функций $g$ и $h$:
$f(x) = h(g(x)) = \tan(\pi(x - 1/2))$

Поскольку $f(x)$ является композицией двух биекций, она также является биекцией. Это означает, что для каждой точки $x$ из интервала $(0; 1)$ существует единственная соответствующая точка $y$ на всей прямой $R$, и наоборот. Таким образом, взаимно-однозначное соответствие установлено.

Ответ: Взаимно-однозначное соответствие между множеством точек интервала $(0; 1)$ и множеством точек прямой $R$ можно установить с помощью биективной функции $f(x) = \tan(\pi(x - 1/2))$.