Номер 1.30, страница 19 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.30, страница 19.

1.30°a) Сформулируйте принцип математической индукции.

б) Справедливо ли утверждение для всех натуральных $n$, если верно только одно из двух условий принципа математической индукции?

а) Принцип математической индукции — это метод доказательства утверждений для всех натуральных чисел. Пусть дано некоторое утверждение $P(n)$, зависящее от натурального числа $n$. Чтобы доказать, что это утверждение справедливо для всех натуральных чисел $n \ge n_0$ (где $n_0$ — некоторое начальное натуральное число, обычно $n_0=1$), необходимо последовательно доказать два утверждения:

1. Базис (база) индукции. Проверяется истинность утверждения $P(n)$ для начального значения $n = n_0$. То есть доказывается, что $P(n_0)$ верно.

2. Индукционный переход (шаг индукции). Доказывается, что если утверждение $P(n)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge n_0$, то оно истинно и для следующего натурального числа $n = k+1$. Это утверждение имеет форму импликации: для любого $k \ge n_0$ из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. В символьной записи: $P(k) \implies P(k+1)$. Предположение о том, что $P(k)$ истинно, называется индукционным предположением.

Если оба этих шага успешно выполнены, то на основании принципа математической индукции делается вывод, что утверждение $P(n)$ справедливо для всех натуральных чисел $n \ge n_0$. Аналогия — падение костяшек домино: если мы толкнули первую костяшку (базис индукции) и уверены, что каждая падающая костяшка толкает следующую (индукционный переход), то упадут все костяшки.

Ответ: Принцип математической индукции заключается в доказательстве утверждения для начального случая (базис индукции) и доказательстве того, что из истинности утверждения для произвольного случая $k$ следует его истинность для следующего случая $k+1$ (индукционный переход). Выполнение этих двух условий доказывает истинность утверждения для всех натуральных чисел, начиная с начального.

б) Нет, утверждение не будет справедливым для всех натуральных $n$, если верно только одно из двух условий принципа математической индукции. Для доказательства необходимо выполнение обоих условий. Отсутствие любого из них делает доказательство неверным. Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Выполнен индукционный переход, но не выполнен базис индукции.

В этом случае мы имеем верное правило "перехода" от одного числа к следующему ($P(k) \implies P(k+1)$), но поскольку утверждение неверно для начального значения, "цепь" доказательств никогда не начинается. Утверждение может быть ложным для всех натуральных чисел.

Пример: рассмотрим утверждение $P(n): n > n + 1$.

• Индукционный переход: Предположим, что для некоторого $k \in \mathbb{N}$ верно $k > k + 1$. Прибавим 1 к обеим частям неравенства: $k+1 > (k+1)+1$. Таким образом, из $P(k)$ следует $P(k+1)$. Индукционный переход выполнен.
• Базис индукции: Проверим для $n=1$: $1 > 1+1$, то есть $1 > 2$. Это ложь. Базис индукции не выполнен.

Очевидно, что утверждение $n > n+1$ ложно для любого натурального $n$.

Случай 2: Выполнен базис индукции, но не выполнен индукционный переход.

В этом случае утверждение может быть истинным для одного или нескольких первых значений, но "цепь" доказательств прерывается в какой-то момент, и утверждение становится ложным для последующих чисел.

Пример: рассмотрим утверждение $P(n): n^2 - n + 41$ — простое число.

• Базис индукции: Проверим для $n=1$: $1^2 - 1 + 41 = 41$. Число 41 является простым. Базис индукции выполнен. Можно также проверить для $n=2$ ($43$, простое), $n=3$ ($47$, простое) и т.д.
• Индукционный переход: Предположим, что для некоторого $k$ выражение $k^2 - k + 41$ является простым. Нужно доказать, что и $(k+1)^2 - (k+1) + 41$ также будет простым. Однако этот переход не всегда верен. Например, утверждение истинно для всех $n$ от 1 до 40. Но при $n=41$ получаем: $41^2 - 41 + 41 = 41^2 = 1681$. Это число не является простым, так как делится на 41. Следовательно, индукционный переход от $k=40$ к $k+1=41$ не работает.

Таким образом, оба условия — базис индукции и индукционный переход — являются обязательными и равноправными частями доказательства методом математической индукции.

Ответ: Нет, утверждение не будет справедливым для всех натуральных $n$, если верно только одно из двух условий. Если не выполнен базис индукции, то у цепи доказательств нет начального звена. Если не выполнен индукционный переход, то цепь доказательств обрывается.