Номер 1.33, страница 20 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.33, страница 20.

1.33 Верно ли, что для любого натурального $n$ справедливо неравенство $2^{n+1} < 2^n + 2^{n-1}$?

Для того чтобы проверить справедливость неравенства $2^{n+1} < 2^n + 2^{n-1}$ для любого натурального числа $n$, преобразуем его.

Воспользуемся свойствами степеней. Наименьшая степень двойки в выражении — это $2^{n-1}$. Вынесем $2^{n-1}$ как общий множитель в правой части неравенства и представим левую часть через этот же множитель.

Левая часть:
$2^{n+1} = 2^{(n-1)+2} = 2^{n-1} \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^{n-1}$

Правая часть:
$2^n + 2^{n-1} = 2^{(n-1)+1} + 2^{n-1} = 2^{n-1} \cdot 2^1 + 2^{n-1} \cdot 1 = 2^{n-1} (2 + 1) = 3 \cdot 2^{n-1}$

Теперь подставим преобразованные выражения обратно в исходное неравенство:
$4 \cdot 2^{n-1} < 3 \cdot 2^{n-1}$

Поскольку $n$ — натуральное число ($n \ge 1$), то $2^{n-1}$ всегда является положительным числом ($2^{n-1} > 0$). Следовательно, мы можем разделить обе части неравенства на $2^{n-1}$, не меняя знака неравенства:
$4 < 3$

Полученное числовое неравенство $4 < 3$ является ложным. Это означает, что исходное неравенство неверно для любого натурального значения $n$.

Можно также проверить это, подставив любое натуральное число, например, $n=1$:
$2^{1+1} < 2^1 + 2^{1-1}$
$2^2 < 2 + 2^0$
$4 < 2 + 1$
$4 < 3$
Это неверно.

Ответ: Нет, неверно.