Номер 1.37, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.3*. Метод математической индукции - номер 1.37, страница 21.

Условие.

1.37 Докажите по индукции, что:

а) $1 + 2 + \dots + n < n^2$, $n \in N$, $n \ge 2$;

б) $2^n > 5n + 1$, $n \in N$, $n \ge 5$;

в) $2^n > n^2$, $n \in N$, $n \ge 4$;

г) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \ge 2^{n-1}$, $n \in N$, $n \ge 3$.

д) $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$, $n \in N$, $n \ge 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) Докажем неравенство $1 + 2 + ... + n < n^2$ для всех натуральных чисел $n \ge 2$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим утверждение для наименьшего значения $n=2$.

Левая часть: $1 + 2 = 3$.

Правая часть: $n^2 = 2^2 = 4$.

Так как $3 < 4$, неравенство для $n=2$ выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$, то есть:

$1 + 2 + ... + k < k^2$

3. Индукционный шаг.

Докажем, что неравенство верно и для следующего числа $n = k+1$. То есть, докажем, что $1 + 2 + ... + k + (k+1) < (k+1)^2$.

Рассмотрим левую часть неравенства:

$(1 + 2 + ... + k) + (k+1)$

Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:

$(1 + 2 + ... + k) + (k+1) < k^2 + (k+1)$

Теперь нам нужно показать, что полученное выражение меньше правой части доказываемого неравенства, то есть $k^2 + k + 1 < (k+1)^2$.

$(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$

Сравниваем $k^2 + k + 1$ и $k^2 + 2k + 1$.

$k^2 + k + 1 < k^2 + 2k + 1$

Вычтем из обеих частей $k^2 + k + 1$:

$0 < k$

Поскольку по условию $k \ge 2$, неравенство $k > 0$ истинно.

Таким образом, мы показали, что $1 + 2 + ... + (k+1) < k^2 + k + 1 < (k+1)^2$, что и требовалось доказать.

Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ:

б) Докажем неравенство $2^n > 5n + 1$ для всех натуральных чисел $n \ge 5$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=5$.

Левая часть: $2^5 = 32$.

Правая часть: $5 \cdot 5 + 1 = 26$.

Так как $32 > 26$, неравенство для $n=5$ выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть:

$2^k > 5k + 1$

3. Индукционный шаг.

Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что $2^{k+1} > 5(k+1) + 1$.

$2^{k+1} > 5k + 6$

Рассмотрим левую часть. $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$. Используя индукционное предположение, получаем:

$2 \cdot 2^k > 2 \cdot (5k + 1) = 10k + 2$

Теперь докажем, что $10k + 2 > 5k + 6$ для $k \ge 5$.

$10k - 5k > 6 - 2$

$5k > 4$

$k > 4/5$

Так как $k \ge 5$, это неравенство очевидно верно.

Мы получили цепочку неравенств: $2^{k+1} > 10k + 2 > 5k + 6$. Следовательно, $2^{k+1} > 5(k+1)+1$.

Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 5$.

Ответ:

в) Утверждение $2^n > n^2$ при $n \ge 4$ в представленном виде неверно. Для $n=4$ левая часть равна $2^4=16$, а правая $4^2=16$. Неравенство $16 > 16$ является ложным. Вероятно, в условии допущена опечатка. Утверждение становится верным при $n \ge 5$. Докажем неравенство $2^n > n^2$ для $n \ge 5$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=5$.

Левая часть: $2^5 = 32$.

Правая часть: $5^2 = 25$.

Так как $32 > 25$, неравенство для $n=5$ выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть:

$2^k > k^2$

3. Индукционный шаг.

Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что $2^{k+1} > (k+1)^2$.

Рассмотрим левую часть. $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$. По индукционному предположению:

$2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2$

Теперь нужно доказать, что $2k^2 > (k+1)^2$ для $k \ge 5$.

$2k^2 > k^2 + 2k + 1$

$k^2 - 2k - 1 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$. $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.

Неравенство $k^2 - 2k - 1 > 0$ выполняется при $k < 1-\sqrt{2}$ или $k > 1+\sqrt{2}$.

Поскольку $1+\sqrt{2} \approx 2.414$, а мы рассматриваем $k \ge 5$, условие $k > 1+\sqrt{2}$ выполняется. Значит, $k^2 - 2k - 1 > 0$ истинно.

Мы получили: $2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$. Следовательно, $2^{k+1} > (k+1)^2$.

Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство $2^n > n^2$ верно для всех натуральных $n \ge 5$.

Ответ:

г) Докажем неравенство $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \ge 2^{n-1}$ (или $n! \ge 2^{n-1}$) для всех натуральных чисел $n \ge 3$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=3$.

Левая часть: $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.

Правая часть: $2^{3-1} = 2^2 = 4$.

Так как $6 \ge 4$, неравенство для $n=3$ выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$, то есть:

$k! \ge 2^{k-1}$

3. Индукционный шаг.

Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что $(k+1)! \ge 2^{(k+1)-1} = 2^k$.

Рассмотрим левую часть. $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$. Используя индукционное предположение:

$(k+1)! \ge (k+1) \cdot 2^{k-1}$

Теперь докажем, что $(k+1) \cdot 2^{k-1} \ge 2^k$ для $k \ge 3$.

Разделим обе части на $2^{k-1}$ (положительное число):

$k+1 \ge 2$

$k \ge 1$

Так как $k \ge 3$, это неравенство очевидно верно.

Мы получили: $(k+1)! \ge (k+1) \cdot 2^{k-1} \ge 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k$. Следовательно, $(k+1)! \ge 2^k$.

Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 3$.

Ответ:

д) Докажем неравенство $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$ для всех натуральных чисел $n \ge 2$ методом математической индукции.

1. База индукции.

Проверим утверждение для $n=2$.

Левая часть: $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.707$.

Правая часть: $\sqrt{2} \approx 1.414$.

Так как $1.707 > 1.414$, неравенство для $n=2$ выполняется.

2. Индукционное предположение.

Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$, то есть:

$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k}$

3. Индукционный шаг.

Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что $\frac{1}{\sqrt{1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$.

Рассмотрим левую часть и воспользуемся индукционным предположением:

$(\frac{1}{\sqrt{1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}}) + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$

Теперь докажем, что $\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$ для $k \ge 2$.

Умножим обе части на $\sqrt{k+1}$ (положительное число):

$\sqrt{k}\sqrt{k+1} + 1 > (\sqrt{k+1})^2$

$\sqrt{k(k+1)} + 1 > k+1$

$\sqrt{k^2+k} > k$

Так как $k \ge 2$, обе части неравенства положительны. Возведем их в квадрат:

$k^2+k > k^2$

$k > 0$

Поскольку $k \ge 2$, это неравенство истинно.

Следовательно, мы показали, что $\frac{1}{\sqrt{1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$.

Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 2$.

Ответ: