Номер 1.37, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.37, страница 21.
№1.37 (с. 21)
Условие. №1.37 (с. 21)
скриншот условия

1.37 Докажите по индукции, что:
а) $1 + 2 + \dots + n < n^2$, $n \in N$, $n \ge 2$;
б) $2^n > 5n + 1$, $n \in N$, $n \ge 5$;
в) $2^n > n^2$, $n \in N$, $n \ge 4$;
г) $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \ge 2^{n-1}$, $n \in N$, $n \ge 3$.
д) $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$, $n \in N$, $n \ge 2$.
Решение 1. №1.37 (с. 21)





Решение 2. №1.37 (с. 21)

Решение 3. №1.37 (с. 21)



Решение 4. №1.37 (с. 21)


Решение 5. №1.37 (с. 21)
а) Докажем неравенство $1 + 2 + ... + n < n^2$ для всех натуральных чисел $n \ge 2$ методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим утверждение для наименьшего значения $n=2$.
Левая часть: $1 + 2 = 3$.
Правая часть: $n^2 = 2^2 = 4$.
Так как $3 < 4$, неравенство для $n=2$ выполняется.
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$, то есть:
$1 + 2 + ... + k < k^2$
3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно и для следующего числа $n = k+1$. То есть, докажем, что $1 + 2 + ... + k + (k+1) < (k+1)^2$.
Рассмотрим левую часть неравенства:
$(1 + 2 + ... + k) + (k+1)$
Используя индукционное предположение, заменим сумму в скобках:
$(1 + 2 + ... + k) + (k+1) < k^2 + (k+1)$
Теперь нам нужно показать, что полученное выражение меньше правой части доказываемого неравенства, то есть $k^2 + k + 1 < (k+1)^2$.
$(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$
Сравниваем $k^2 + k + 1$ и $k^2 + 2k + 1$.
$k^2 + k + 1 < k^2 + 2k + 1$
Вычтем из обеих частей $k^2 + k + 1$:
$0 < k$
Поскольку по условию $k \ge 2$, неравенство $k > 0$ истинно.
Таким образом, мы показали, что $1 + 2 + ... + (k+1) < k^2 + k + 1 < (k+1)^2$, что и требовалось доказать.
Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 2$.
Ответ:
б) Докажем неравенство $2^n > 5n + 1$ для всех натуральных чисел $n \ge 5$ методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим утверждение для $n=5$.
Левая часть: $2^5 = 32$.
Правая часть: $5 \cdot 5 + 1 = 26$.
Так как $32 > 26$, неравенство для $n=5$ выполняется.
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть:
$2^k > 5k + 1$
3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что $2^{k+1} > 5(k+1) + 1$.
$2^{k+1} > 5k + 6$
Рассмотрим левую часть. $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$. Используя индукционное предположение, получаем:
$2 \cdot 2^k > 2 \cdot (5k + 1) = 10k + 2$
Теперь докажем, что $10k + 2 > 5k + 6$ для $k \ge 5$.
$10k - 5k > 6 - 2$
$5k > 4$
$k > 4/5$
Так как $k \ge 5$, это неравенство очевидно верно.
Мы получили цепочку неравенств: $2^{k+1} > 10k + 2 > 5k + 6$. Следовательно, $2^{k+1} > 5(k+1)+1$.
Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 5$.
Ответ:
в) Утверждение $2^n > n^2$ при $n \ge 4$ в представленном виде неверно. Для $n=4$ левая часть равна $2^4=16$, а правая $4^2=16$. Неравенство $16 > 16$ является ложным. Вероятно, в условии допущена опечатка. Утверждение становится верным при $n \ge 5$. Докажем неравенство $2^n > n^2$ для $n \ge 5$ методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим утверждение для $n=5$.
Левая часть: $2^5 = 32$.
Правая часть: $5^2 = 25$.
Так как $32 > 25$, неравенство для $n=5$ выполняется.
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 5$, то есть:
$2^k > k^2$
3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что $2^{k+1} > (k+1)^2$.
Рассмотрим левую часть. $2^{k+1} = 2 \cdot 2^k$. По индукционному предположению:
$2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^2$
Теперь нужно доказать, что $2k^2 > (k+1)^2$ для $k \ge 5$.
$2k^2 > k^2 + 2k + 1$
$k^2 - 2k - 1 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 2x - 1 = 0$. $x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-1)}}{2} = 1 \pm \sqrt{2}$.
Неравенство $k^2 - 2k - 1 > 0$ выполняется при $k < 1-\sqrt{2}$ или $k > 1+\sqrt{2}$.
Поскольку $1+\sqrt{2} \approx 2.414$, а мы рассматриваем $k \ge 5$, условие $k > 1+\sqrt{2}$ выполняется. Значит, $k^2 - 2k - 1 > 0$ истинно.
Мы получили: $2^{k+1} > 2k^2 > (k+1)^2$. Следовательно, $2^{k+1} > (k+1)^2$.
Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство $2^n > n^2$ верно для всех натуральных $n \ge 5$.
Ответ:
г) Докажем неравенство $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n \ge 2^{n-1}$ (или $n! \ge 2^{n-1}$) для всех натуральных чисел $n \ge 3$ методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим утверждение для $n=3$.
Левая часть: $3! = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$.
Правая часть: $2^{3-1} = 2^2 = 4$.
Так как $6 \ge 4$, неравенство для $n=3$ выполняется.
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 3$, то есть:
$k! \ge 2^{k-1}$
3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что $(k+1)! \ge 2^{(k+1)-1} = 2^k$.
Рассмотрим левую часть. $(k+1)! = (k+1) \cdot k!$. Используя индукционное предположение:
$(k+1)! \ge (k+1) \cdot 2^{k-1}$
Теперь докажем, что $(k+1) \cdot 2^{k-1} \ge 2^k$ для $k \ge 3$.
Разделим обе части на $2^{k-1}$ (положительное число):
$k+1 \ge 2$
$k \ge 1$
Так как $k \ge 3$, это неравенство очевидно верно.
Мы получили: $(k+1)! \ge (k+1) \cdot 2^{k-1} \ge 2 \cdot 2^{k-1} = 2^k$. Следовательно, $(k+1)! \ge 2^k$.
Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 3$.
Ответ:
д) Докажем неравенство $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}} + ... + \frac{1}{\sqrt{n}} > \sqrt{n}$ для всех натуральных чисел $n \ge 2$ методом математической индукции.
1. База индукции.
Проверим утверждение для $n=2$.
Левая часть: $\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 1.707$.
Правая часть: $\sqrt{2} \approx 1.414$.
Так как $1.707 > 1.414$, неравенство для $n=2$ выполняется.
2. Индукционное предположение.
Предположим, что неравенство верно для некоторого натурального числа $k \ge 2$, то есть:
$\frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}} > \sqrt{k}$
3. Индукционный шаг.
Докажем, что неравенство верно для $n = k+1$. То есть, докажем, что $\frac{1}{\sqrt{1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$.
Рассмотрим левую часть и воспользуемся индукционным предположением:
$(\frac{1}{\sqrt{1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k}}) + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}}$
Теперь докажем, что $\sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$ для $k \ge 2$.
Умножим обе части на $\sqrt{k+1}$ (положительное число):
$\sqrt{k}\sqrt{k+1} + 1 > (\sqrt{k+1})^2$
$\sqrt{k(k+1)} + 1 > k+1$
$\sqrt{k^2+k} > k$
Так как $k \ge 2$, обе части неравенства положительны. Возведем их в квадрат:
$k^2+k > k^2$
$k > 0$
Поскольку $k \ge 2$, это неравенство истинно.
Следовательно, мы показали, что $\frac{1}{\sqrt{1}} + ... + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k} + \frac{1}{\sqrt{k+1}} > \sqrt{k+1}$.
Шаг индукции выполнен. По принципу математической индукции, неравенство верно для всех натуральных $n \ge 2$.
Ответ:
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 1.37 расположенного на странице 21 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №1.37 (с. 21), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.