Номер 1.39, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.39, страница 21.

1.39 Докажите, что для любого натурального n выполняется равенство:

а) $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$;

б) $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$.

а)

Докажем равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции
Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть: $S_1 = 1^2 = 1$.
Правая часть: $\frac{1 \cdot (1+1) \cdot (2 \cdot 1 + 1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1$.
Так как левая и правая части равны ($1=1$), утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение
Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$:
$S_k = 1^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}$.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что формула верна и для следующего числа $k+1$. То есть, нам нужно доказать:
$S_{k+1} = 1^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Выразим $S_{k+1}$ через $S_k$ и $(k+1)^2$:
$S_{k+1} = S_k + (k+1)^2$.
Используя индукционное предположение для $S_k$, получим:
$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)$:
$S_{k+1} = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} = \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6}$.

Упростим выражение в квадратных скобках:
$k(2k+1) + 6(k+1) = 2k^2 + k + 6k + 6 = 2k^2 + 7k + 6$.

Разложим полученный квадратный трехчлен на множители. Заметим, что $(k+2)(2k+3) = 2k^2 + 3k + 4k + 6 = 2k^2 + 7k + 6$.
Таким образом, выражение для $S_{k+1}$ принимает вид:
$S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}$.

Полученное выражение совпадает с формулой, которую мы хотели доказать для $n=k+1$. Следовательно, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, равенство доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Равенство $1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ доказано.

б)

Докажем равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ методом математической индукции.

Шаг 1: База индукции
Проверим утверждение для $n=1$.
Левая часть: $S_1 = 1^3 = 1$.
Правая часть: $\frac{1^2 \cdot (1+1)^2}{4} = \frac{1 \cdot 2^2}{4} = \frac{4}{4} = 1$.
Так как левая и правая части равны ($1=1$), утверждение верно для $n=1$.

Шаг 2: Индукционное предположение
Предположим, что формула верна для некоторого натурального числа $k \ge 1$:
$S_k = 1^3 + 2^3 + \dots + k^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}$.

Шаг 3: Индукционный переход
Докажем, что формула верна и для следующего числа $k+1$. То есть, нам нужно доказать:
$S_{k+1} = 1^3 + 2^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = \frac{(k+1)^2((k+1)+1)^2}{4} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

Выразим $S_{k+1}$ через $S_k$ и $(k+1)^3$:
$S_{k+1} = S_k + (k+1)^3$.
Используя индукционное предположение для $S_k$, получим:
$S_{k+1} = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю и вынесем общий множитель $(k+1)^2$:
$S_{k+1} = \frac{k^2(k+1)^2 + 4(k+1)^3}{4} = \frac{(k+1)^2[k^2 + 4(k+1)]}{4}$.

Упростим выражение в квадратных скобках:
$k^2 + 4(k+1) = k^2 + 4k + 4 = (k+2)^2$.

Таким образом, выражение для $S_{k+1}$ принимает вид:
$S_{k+1} = \frac{(k+1)^2(k+2)^2}{4}$.

Полученное выражение совпадает с формулой, которую мы хотели доказать для $n=k+1$. Следовательно, индукционный переход доказан.

По принципу математической индукции, равенство доказано для всех натуральных $n$.

Ответ: Равенство $1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}$ доказано.