Номер 1.43, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.43, страница 21.

1.43* Докажите, что для любого натурального $n$:

а) $5^n + 3$ делится на 4;

б) $7^n + 5$ делится на 6;

в) $5^n + 6^n - 1$ делится на 10;

г) $3^n + 4^n - 1$ делится на 6;

д) $9^{n+1} - 8n - 9$ делится на 64;

е) $7^{n+1} - 6n - 7$ делится на 36.

а) Докажем, что выражение $5^n + 3$ делится на 4 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ имеем: $5^1 + 3 = 8$. Число 8 делится на 4, поэтому утверждение верно для $n=1$.

2. Предположение индукции.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $5^k + 3$ делится на 4. Это значит, что существует такое целое число $m$, что $5^k + 3 = 4m$.

3. Шаг индукции.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что $5^{k+1} + 3$ делится на 4.
$5^{k+1} + 3 = 5 \cdot 5^k + 3$.
Из предположения индукции выразим $5^k = 4m - 3$. Подставим это в выражение:
$5(4m - 3) + 3 = 20m - 15 + 3 = 20m - 12 = 4(5m - 3)$.
Поскольку $m$ - целое число, то $5m - 3$ также является целым числом. Следовательно, выражение $4(5m - 3)$ делится на 4. Шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Докажем, что выражение $7^n + 5$ делится на 6 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ имеем: $7^1 + 5 = 12$. Число 12 делится на 6, поэтому утверждение верно для $n=1$.

2. Предположение индукции.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $7^k + 5$ делится на 6. Это значит, что $7^k + 5 = 6m$ для некоторого целого $m$.

3. Шаг индукции.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что $7^{k+1} + 5$ делится на 6.
$7^{k+1} + 5 = 7 \cdot 7^k + 5$.
Из предположения индукции выразим $7^k = 6m - 5$. Подставим это в выражение:
$7(6m - 5) + 5 = 42m - 35 + 5 = 42m - 30 = 6(7m - 5)$.
Поскольку $m$ - целое число, то $7m - 5$ также является целым числом. Следовательно, выражение $6(7m - 5)$ делится на 6. Шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

в) Докажем, что выражение $5^n + 6^n - 1$ делится на 10 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ имеем: $5^1 + 6^1 - 1 = 10$. Число 10 делится на 10, поэтому утверждение верно для $n=1$.

2. Предположение индукции.
Обозначим $A_n = 5^n + 6^n - 1$. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A_k = 5^k + 6^k - 1$ делится на 10.

3. Шаг индукции.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что $A_{k+1} = 5^{k+1} + 6^{k+1} - 1$ делится на 10.
Рассмотрим разность $A_{k+1} - A_k$:
$A_{k+1} - A_k = (5^{k+1} + 6^{k+1} - 1) - (5^k + 6^k - 1) = 5^{k+1} - 5^k + 6^{k+1} - 6^k = 5^k(5-1) + 6^k(6-1) = 4 \cdot 5^k + 5 \cdot 6^k$.
Преобразуем выражение: $4 \cdot 5^k + 5 \cdot 6^k = 4 \cdot 5 \cdot 5^{k-1} + 5 \cdot 6 \cdot 6^{k-1} = 20 \cdot 5^{k-1} + 30 \cdot 6^{k-1} = 10(2 \cdot 5^{k-1} + 3 \cdot 6^{k-1})$.
Это выражение делится на 10 для любого натурального $k \ge 1$.
Так как $A_{k+1} = (A_{k+1} - A_k) + A_k$, и оба слагаемых ($A_{k+1} - A_k$ и $A_k$) делятся на 10, то и их сумма $A_{k+1}$ делится на 10. Шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

г) Докажем, что выражение $3^n + 4^n - 1$ делится на 6 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ имеем: $3^1 + 4^1 - 1 = 6$. Число 6 делится на 6, поэтому утверждение верно для $n=1$.

2. Предположение индукции.
Обозначим $A_n = 3^n + 4^n - 1$. Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $A_k = 3^k + 4^k - 1$ делится на 6.

3. Шаг индукции.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что $A_{k+1} = 3^{k+1} + 4^{k+1} - 1$ делится на 6.
Рассмотрим разность $A_{k+1} - A_k$:
$A_{k+1} - A_k = (3^{k+1} + 4^{k+1} - 1) - (3^k + 4^k - 1) = 3^{k+1} - 3^k + 4^{k+1} - 4^k = 3^k(3-1) + 4^k(4-1) = 2 \cdot 3^k + 3 \cdot 4^k$.
Преобразуем выражение: $2 \cdot 3^k + 3 \cdot 4^k = 2 \cdot 3 \cdot 3^{k-1} + 3 \cdot 4 \cdot 4^{k-1} = 6 \cdot 3^{k-1} + 12 \cdot 4^{k-1} = 6(3^{k-1} + 2 \cdot 4^{k-1})$.
Это выражение делится на 6 для любого натурального $k \ge 1$.
Так как $A_{k+1} = (A_{k+1} - A_k) + A_k$, и оба слагаемых делятся на 6, то и их сумма $A_{k+1}$ делится на 6. Шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

д) Докажем, что выражение $9^{n+1} - 8n - 9$ делится на 64 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ имеем: $9^{1+1} - 8(1) - 9 = 9^2 - 8 - 9 = 81 - 17 = 64$. Число 64 делится на 64, поэтому утверждение верно для $n=1$.

2. Предположение индукции.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $9^{k+1} - 8k - 9$ делится на 64. Это значит, что $9^{k+1} - 8k - 9 = 64m$ для некоторого целого $m$.

3. Шаг индукции.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что $9^{(k+1)+1} - 8(k+1) - 9$ делится на 64.
$9^{k+2} - 8(k+1) - 9 = 9 \cdot 9^{k+1} - 8k - 8 - 9 = 9 \cdot 9^{k+1} - 8k - 17$.
Из предположения индукции выразим $9^{k+1} = 64m + 8k + 9$. Подставим это в выражение:
$9(64m + 8k + 9) - 8k - 17 = 9 \cdot 64m + 72k + 81 - 8k - 17 = 9 \cdot 64m + 64k + 64 = 64(9m + k + 1)$.
Поскольку $m$ и $k$ - целые числа, то $9m + k + 1$ также является целым числом. Следовательно, выражение $64(9m + k + 1)$ делится на 64. Шаг индукции доказан.

Таким образом, по принципу математической индукции, утверждение верно для любого натурального $n$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

е) Докажем, что выражение $7^{n+1} - 6n - 7$ делится на 36 для любого натурального $n$, используя метод математической индукции.

1. База индукции.
При $n=1$ имеем: $7^{1+1} - 6(1) - 7 = 7^2 - 6 - 7 = 49 - 13 = 36$. Число 36 делится на 36, поэтому утверждение верно для $n=1$.

2. Предположение индукции.
Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального $n=k$, то есть $7^{k+1} - 6k - 7$ делится на 36. Это значит, что $7^{k+1} - 6k - 7 = 36m$ для некоторого целого $m$.

3. Шаг индукции.
Докажем, что утверждение верно для $n=k+1$, то есть что $7^{(k+1