Номер 1.43, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.43* Докажите, что для любого натурального $n$:

а) $5^n + 3$ делится на 4;

б) $7^n + 5$ делится на 6;

в) $5^n + 6^n - 1$ делится на 10;

г) $3^n + 4^n - 1$ делится на 6;

д) $9^{n+1} - 8n - 9$ делится на 64;

е) $7^{n+1} - 6n - 7$ делится на 36.

Для доказательства данных утверждений можно использовать либо метод математической индукции, либо свойства сравнений по модулю. Второй способ обычно короче и нагляднее, поэтому воспользуемся им.

а) $5^n + 3$ делится на 4

Заметим, что $5 = 4 + 1$, то есть $5 \equiv 1 \pmod{4}$.

1. Тогда $5^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{4}$ для любого натурального $n$.
2. Следовательно, $5^n + 3 \equiv 1 + 3 \equiv 4 \equiv 0 \pmod{4}$.

Раз остаток равен 0, выражение делится на 4. Доказано.

б) $7^n + 5$ делится на 6

Аналогично, $7 = 6 + 1$, значит $7 \equiv 1 \pmod{6}$.

1. Тогда $7^n \equiv 1^n \equiv 1 \pmod{6}$.
2. Следовательно, $7^n + 5 \equiv 1 + 5 \equiv 6 \equiv 0 \pmod{6}$.

Доказано.

в) $5^n + 6^n - 1$ делится на 10

Число делится на 10, если оно делится на 2 и на 5 одновременно:

• По модулю 2: $5^n$ — нечетное, $6^n$ — четное, 1 — нечетное. $\text{нечет} + \text{чет} - \text{нечет} = \text{чет}$. Делится на 2.
• По модулю 5: $5^n \equiv 0 \pmod{5}$. Тогда $0 + 6^n - 1$. Так как $6 \equiv 1 \pmod{5}$, то $6^n \equiv 1 \pmod{5}$.
  Итого: $0 + 1 - 1 = 0 \pmod{5}$.

Так как число делится на 2 и 5, оно делится на 10. Доказано.

г) $3^n + 4^n - 1$ делится на 6

Число делится на 6, если оно четное и делится на 3:

• Четность: $3^n$ — нечетное, $4^n$ — четное, 1 — нечетное. $\text{нечет} + \text{чет} - \text{нечет} = \text{чет}$. Делится на 2.
• По модулю 3: $3^n \equiv 0 \pmod{3}$ (при $n \ge 1$). Так как $4 \equiv 1 \pmod{3}$, то $4^n \equiv 1 \pmod{3}$.
  Итого: $0 + 1 - 1 = 0 \pmod{3}$.

Доказано.

д) $9^{n+1} - 8n - 9$ делится на 64

Воспользуемся биномом Ньютона для $(1 + 8)^{n+1}$:

$9^{n+1} = (1 + 8)^{n+1} = 1 + (n+1) \cdot 8 + \frac{(n+1)n}{2} \cdot 8^2 + \dots + 8^{n+1}$

$9^{n+1} = 1 + 8n + 8 + 64 \cdot (\text{остальные члены})$

$9^{n+1} = 8n + 9 + 64k$

Подставим в наше выражение: $(8n + 9 + 64k) - 8n - 9 = 64k$. Доказано.

е) $7^{n+1} - 6n - 7$ делится на 36

Аналогично пункту "д", представим $7^{n+1}$ как $(1 + 6)^{n+1}$:

$(1 + 6)^{n+1} = 1 + (n+1) \cdot 6 + \frac{(n+1)n}{2} \cdot 6^2 + \dots$

$7^{n+1} = 1 + 6n + 6 + 36 \cdot (\text{остальные члены})$

$7^{n+1} = 6n + 7 + 36k$

Подставим: $(6n + 7 + 36k) - 6n - 7 = 36k$. Доказано.