Номер 1.40, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.40, страница 21.

1.40* Задача ал-Караджи (Иран, XI в.). Докажите, что для любого натурального $n$ верно равенство

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$.

Для доказательства данного равенства воспользуемся методом математической индукции. Обозначим доказываемое утверждение как $P(n)$:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + n^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + n)^2$

Доказательство состоит из двух шагов: проверка базы индукции и доказательство индукционного перехода.

1. База индукции

Проверим, верно ли утверждение для наименьшего натурального числа $n=1$.

Левая часть равенства для $n=1$: $1^3 = 1$.

Правая часть равенства для $n=1$: $(1)^2 = 1$.

Так как $1=1$, левая часть равна правой. Следовательно, утверждение $P(1)$ истинно.

2. Индукционный переход

Сделаем индукционное предположение, что утверждение $P(k)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $k \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что верно равенство:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + k)^2$

Теперь докажем, что из истинности $P(k)$ следует истинность $P(k+1)$. Утверждение $P(k+1)$ имеет вид:

$1^3 + 2^3 + 3^3 + \dots + k^3 + (k+1)^3 = (1 + 2 + 3 + \dots + k + (k+1))^2$

Рассмотрим левую часть этого равенства и преобразуем ее, используя индукционное предположение:

$(1^3 + 2^3 + \dots + k^3) + (k+1)^3 = (1 + 2 + \dots + k)^2 + (k+1)^3$

Воспользуемся известной формулой суммы первых $k$ натуральных чисел: $1 + 2 + \dots + k = \frac{k(k+1)}{2}$.

Подставим эту формулу в наше выражение:

$\left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 + (k+1)^3 = \frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3$

Вынесем общий множитель $(k+1)^2$ за скобки:

$(k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + k+1 \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4(k+1)}{4} \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right)$

Выражение в числителе $k^2 + 4k + 4$ является полным квадратом $(k+2)^2$. Таким образом, левая часть преобразуется к виду:

$\frac{(k+1)^2 (k+2)^2}{4} = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2$

Теперь рассмотрим правую часть равенства для $P(k+1)$. Сумма первых $k+1$ натуральных чисел вычисляется по той же формуле:

$1 + 2 + \dots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}{2} = \frac{(k+1)(k+2)}{2}$

Следовательно, правая часть равна:

$(1 + 2 + \dots + k + (k+1))^2 = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2$

Мы получили, что левая и правая части равенства для $P(k+1)$ равны. Таким образом, индукционный переход доказан.

Поскольку база индукции верна и индукционный переход доказан, по принципу математической индукции исходное равенство верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Равенство доказано.