Номер 1.42, страница 21 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.42, страница 21.

1.42* Задача Фаульхабера (Германия, 1580—1635).

Докажите, что для любого натурального $n$ верно равенство

$1^5 + 2^5 + 3^5 + \dots + n^5 = \frac{1}{12}(2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2)$

Докажем данное равенство методом математической индукции.

Пусть $S(n)$ — это утверждение, что $\sum_{k=1}^{n} k^5 = 1^5 + 2^5 + 3^5 + \dots + n^5 = \frac{1}{12}(2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2)$.

Шаг 1: База индукции

Проверим истинность утверждения для $n=1$.

Левая часть равенства: $\sum_{k=1}^{1} k^5 = 1^5 = 1$.

Правая часть равенства: $\frac{1}{12}(2 \cdot 1^6 + 6 \cdot 1^5 + 5 \cdot 1^4 - 1^2) = \frac{1}{12}(2 + 6 + 5 - 1) = \frac{12}{12} = 1$.

Левая часть равна правой, следовательно, утверждение $S(1)$ истинно.

Шаг 2: Индукционное предположение

Предположим, что утверждение $S(m)$ истинно для некоторого произвольного натурального числа $m \ge 1$. То есть, мы предполагаем, что верно равенство:

$\sum_{k=1}^{m} k^5 = \frac{1}{12}(2m^6 + 6m^5 + 5m^4 - m^2)$.

Шаг 3: Индукционный переход

Докажем, что из истинности $S(m)$ следует истинность $S(m+1)$. Нам нужно доказать, что:

$\sum_{k=1}^{m+1} k^5 = \frac{1}{12}(2(m+1)^6 + 6(m+1)^5 + 5(m+1)^4 - (m+1)^2)$.

Рассмотрим левую часть этого равенства:

$\sum_{k=1}^{m+1} k^5 = \left(\sum_{k=1}^{m} k^5\right) + (m+1)^5$.

Используя индукционное предположение, заменим сумму:

$\sum_{k=1}^{m+1} k^5 = \frac{1}{12}(2m^6 + 6m^5 + 5m^4 - m^2) + (m+1)^5$.

Приведем выражение к общему знаменателю:

$\sum_{k=1}^{m+1} k^5 = \frac{2m^6 + 6m^5 + 5m^4 - m^2 + 12(m+1)^5}{12}$.

Для упрощения дальнейших выкладок, преобразуем исходную формулу. Вынесем общие множители из многочлена в правой части:

$2n^6 + 6n^5 + 5n^4 - n^2 = n^2(2n^4 + 6n^3 + 5n^2 - 1)$.

Многочлен $P(n) = 2n^4 + 6n^3 + 5n^2 - 1$ имеет корень $n=-1$, так как $P(-1) = 2 - 6 + 5 - 1 = 0$. Значит, он делится на $(n+1)$. Разделив $P(n)$ на $(n+1)$, получим $2n^3 + 4n^2 + n - 1$.

Многочлен $Q(n) = 2n^3 + 4n^2 + n - 1$ также имеет корень $n=-1$, так как $Q(-1) = -2 + 4 - 1 - 1 = 0$. Разделив $Q(n)$ на $(n+1)$, получим $2n^2 + 2n - 1$.

Таким образом, правую часть исходного равенства можно представить в виде:

$\frac{n^2(n+1)^2(2n^2 + 2n - 1)}{12}$.

Теперь вернемся к индукционному переходу, используя эту более удобную форму. Наше индукционное предположение:

$\sum_{k=1}^{m} k^5 = \frac{m^2(m+1)^2(2m^2+2m-1)}{12}$.

Тогда:

$\sum_{k=1}^{m+1} k^5 = \frac{m^2(m+1)^2(2m^2+2m-1)}{12} + (m+1)^5$.

Вынесем общий множитель $\frac{(m+1)^2}{12}$ за скобки:

$\sum_{k=1}^{m+1} k^5 = \frac{(m+1)^2}{12} [m^2(2m^2+2m-1) + 12(m+1)^3]$.

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

$m^2(2m^2+2m-1) + 12(m^3+3m^2+3m+1) = (2m^4+2m^3-m^2) + (12m^3+36m^2+36m+12)$.

Сложим многочлены:

$2m^4 + (2+12)m^3 + (-1+36)m^2 + 36m + 12 = 2m^4 + 14m^3 + 35m^2 + 36m + 12$.

Итак, мы получили:

$\sum_{k=1}^{m+1} k^5 = \frac{(m+1)^2}{12} (2m^4 + 14m^3 + 35m^2 + 36m + 12)$.

Теперь преобразуем правую часть доказываемого равенства для $n=m+1$:

$\frac{(m+1)^2((m+1)+1)^2(2(m+1)^2+2(m+1)-1)}{12} = \frac{(m+1)^2(m+2)^2(2(m^2+2m+1)+2m+2-1)}{12}$.

Упростим выражение в последней скобке:

$2m^2+4m+2+2m+1 = 2m^2+6m+3$.

Получаем:

$\frac{(m+1)^2(m+2)^2(2m^2+6m+3)}{12}$.

Раскроем произведение $(m+2)^2(2m^2+6m+3)$:

$(m^2+4m+4)(2m^2+6m+3) = m^2(2m^2+6m+3) + 4m(2m^2+6m+3) + 4(2m^2+6m+3)$

$= (2m^4+6m^3+3m^2) + (8m^3+24m^2+12m) + (8m^2+24m+12)$

$= 2m^4 + (6+8)m^3 + (3+24+8)m^2 + (12+24)m + 12$

$= 2m^4 + 14m^3 + 35m^2 + 36m + 12$.

Сравнивая результаты, видим, что преобразованная левая часть равна преобразованной правой части. Следовательно, утверждение $S(m+1)$ истинно.

Заключение

Поскольку база индукции ($n=1$) верна и индукционный переход доказан (из истинности $S(m)$ следует истинность $S(m+1)$), по принципу математической индукции данное равенство верно для любого натурального числа $n$.

Ответ: Равенство доказано.