Номер 1.46, страница 22 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.3*. Метод математической индукции. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.46, страница 22.

1.46 Вычислите:

а) $5!$;

б) $6!$;

в) $\frac{7!}{5!}$;

г) $\frac{2000!}{1999!}$;

д) $\frac{15!}{10! \cdot 5!}$;

е) $\frac{12! \cdot 6!}{16!}$;

ж) $\frac{5! + 6! + 7!}{8! - 7!}$;

з) $\frac{18! - 17 \cdot 17! - 16 \cdot 16!}{17! - 16!}$.

а) По определению факториала, факториал числа $n$ (обозначается $n!$) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно.
$5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 20 \cdot 6 = 120$.
Ответ: 120

б) Для вычисления $6!$ можно использовать результат предыдущего пункта, так как $6! = 6 \cdot 5!$.
$6! = 6 \cdot 120 = 720$.
Ответ: 720

в) Для упрощения дроби используем свойство $n! = n \cdot (n-1)!$.
Разложим числитель: $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5!$.
$\frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!}$.
Сокращаем $5!$ в числителе и знаменателе:
$7 \cdot 6 = 42$.
Ответ: 42

г) По аналогии с предыдущим примером, разложим $2000!$ как $2000 \cdot 1999!$.
$\frac{2000!}{1999!} = \frac{2000 \cdot 1999!}{1999!}$.
Сокращаем $1999!$ и получаем:
$2000$.
Ответ: 2000

д) Данное выражение является биномиальным коэффициентом $C_{15}^5$. Для вычисления разложим факториалы.
$\frac{15!}{10! \cdot 5!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10!}{10! \cdot 5!}$.
Сократим $10!$:
$\frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.
Произведем сокращения: $\frac{15}{5 \cdot 3} = 1$; $\frac{12}{4} = 3$; $\frac{14}{2} = 7$.
В результате получаем: $1 \cdot 7 \cdot 13 \cdot 3 \cdot 11 = 7 \cdot 13 \cdot 33 = 91 \cdot 33 = 3003$.
Ответ: 3003

е) Разложим больший факториал в знаменателе, чтобы сократить дробь.
$16! = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!$.
$\frac{12! \cdot 6!}{16!} = \frac{12! \cdot 6!}{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}$.
Сокращаем $12!$:
$\frac{6!}{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}$.
Знаем, что $6! = 720$.
$\frac{720}{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{720}{240 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{3}{14 \cdot 13} = \frac{3}{182}$.
Ответ: $\frac{3}{182}$

ж) Для упрощения выражения вынесем общие множители за скобки в числителе и знаменателе.
В числителе вынесем наименьший факториал $5!$:
$5! + 6! + 7! = 5! + 6 \cdot 5! + 7 \cdot 6 \cdot 5! = 5! \cdot (1 + 6 + 42) = 5! \cdot 49$.
В знаменателе вынесем $7!$:
$8! - 7! = 8 \cdot 7! - 7! = 7! \cdot (8 - 1) = 7! \cdot 7$.
Подставим упрощенные выражения в дробь:
$\frac{5! \cdot 49}{7! \cdot 7} = \frac{5! \cdot 49}{(7 \cdot 6 \cdot 5!) \cdot 7}$.
Сократим $5!$ и преобразуем: $\frac{49}{7 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{49}{42 \cdot 7} = \frac{49}{294}$.
Сократим дробь на 49: $\frac{49}{49 \cdot 6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$

з) Упростим числитель и знаменатель по отдельности. Для этого будем приводить все к наименьшему факториалу $16!$.
Знаменатель: $17! - 16! = 17 \cdot 16! - 16! = (17 - 1) \cdot 16! = 16 \cdot 16!$.
Числитель: $18! - 17 \cdot 17! - 16 \cdot 16!$.
Сначала упростим первую часть числителя: $18! - 17 \cdot 17! = 18 \cdot 17! - 17 \cdot 17! = (18 - 17) \cdot 17! = 1 \cdot 17! = 17!$.
Теперь числитель имеет вид: $17! - 16 \cdot 16!$.
Упростим это выражение: $17 \cdot 16! - 16 \cdot 16! = (17 - 16) \cdot 16! = 1 \cdot 16! = 16!$.
Итак, исходная дробь равна:
$\frac{16!}{16 \cdot 16!}$.
Сокращаем $16!$ и получаем $\frac{1}{16}$.
Ответ: $\frac{1}{16}$