Номер 1.51, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.4. Перестановки - номер 1.51, страница 24.

Условие.

1.51 Выпишите все перестановки из элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$. Чему равно $P_4$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Выпишите все перестановки из элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$.

Перестановка — это комбинация, в которой важен порядок элементов. Чтобы выписать все возможные перестановки из четырех элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$, можно сгруппировать их по элементу, стоящему на первом месте. Общее число таких перестановок равно $P_4 = 4! = 24$.

1. Перестановки, начинающиеся с элемента $x_1$ (оставшиеся элементы $x_2, x_3, x_4$ образуют $3! = 6$ перестановок):
$(x_1, x_2, x_3, x_4)$, $(x_1, x_2, x_4, x_3)$, $(x_1, x_3, x_2, x_4)$, $(x_1, x_3, x_4, x_2)$, $(x_1, x_4, x_2, x_3)$, $(x_1, x_4, x_3, x_2)$.

2. Перестановки, начинающиеся с элемента $x_2$ (оставшиеся элементы $x_1, x_3, x_4$ образуют $3! = 6$ перестановок):
$(x_2, x_1, x_3, x_4)$, $(x_2, x_1, x_4, x_3)$, $(x_2, x_3, x_1, x_4)$, $(x_2, x_3, x_4, x_1)$, $(x_2, x_4, x_1, x_3)$, $(x_2, x_4, x_3, x_1)$.

3. Перестановки, начинающиеся с элемента $x_3$ (оставшиеся элементы $x_1, x_2, x_4$ образуют $3! = 6$ перестановок):
$(x_3, x_1, x_2, x_4)$, $(x_3, x_1, x_4, x_2)$, $(x_3, x_2, x_1, x_4)$, $(x_3, x_2, x_4, x_1)$, $(x_3, x_4, x_1, x_2)$, $(x_3, x_4, x_2, x_1)$.

4. Перестановки, начинающиеся с элемента $x_4$ (оставшиеся элементы $x_1, x_2, x_3$ образуют $3! = 6$ перестановок):
$(x_4, x_1, x_2, x_3)$, $(x_4, x_1, x_3, x_2)$, $(x_4, x_2, x_1, x_3)$, $(x_4, x_2, x_3, x_1)$, $(x_4, x_3, x_1, x_2)$, $(x_4, x_3, x_2, x_1)$.

Ответ: Все 24 перестановки из элементов $x_1, x_2, x_3, x_4$ перечислены выше в четырех группах.

Чему равно $P_4$?

Число всех перестановок из $n$ различных элементов обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле n-факториал:

$P_n = n!$

В данном случае количество элементов $n=4$. Подставляем это значение в формулу:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Это число совпадает с количеством перестановок, выписанных в первой части задачи.

Ответ: $P_4 = 24$.