Номер 1.58, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.5. Размещения. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.58, страница 27.

1.58 Вычислите:

а) $A_4^3$; б) $A_5^2$; в) $A_5^3$; г) $A_7^4$; д) $A_7^5$; е) $A_8^1$.

Докажите, что $A_n^k = \frac{n!}{(n - k)!}$.

Для вычисления числа размещений из $n$ элементов по $k$ используется формула $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

а) Вычислим $A_4^3$. Здесь $n=4, k=3$.
$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{1} = 24$.
Ответ: 24.

б) Вычислим $A_5^2$. Здесь $n=5, k=2$.
$A_5^2 = \frac{5!}{(5-2)!} = \frac{5!}{3!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20.

в) Вычислим $A_5^3$. Здесь $n=5, k=3$.
$A_5^3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5!}{2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.
Ответ: 60.

г) Вычислим $A_7^4$. Здесь $n=7, k=4$.
$A_7^4 = \frac{7!}{(7-4)!} = \frac{7!}{3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3!}{3!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$.
Ответ: 840.

д) Вычислим $A_7^5$. Здесь $n=7, k=5$.
$A_7^5 = \frac{7!}{(7-5)!} = \frac{7!}{2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 2520$.
Ответ: 2520.

е) Вычислим $A_8^1$. Здесь $n=8, k=1$.
$A_8^1 = \frac{8!}{(8-1)!} = \frac{8!}{7!} = \frac{8 \cdot 7!}{7!} = 8$.
Ответ: 8.

Докажите, что $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

Размещением из $n$ элементов по $k$ ($A_n^k$) называется количество способов составить упорядоченную последовательность (кортеж) длины $k$ из $n$ различных элементов.

Доказательство проведем, используя комбинаторное правило умножения.

• Для выбора первого элемента последовательности существует $n$ способов.
• Для выбора второго элемента — $n-1$ способ, так как один элемент уже выбран.
• Для выбора третьего элемента — $n-2$ способа.
• ...
• Для выбора $k$-го элемента остается $n-(k-1) = n-k+1$ способ.

По правилу умножения, общее число способов равно произведению числа способов для каждого выбора: $A_n^k = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot (n-k+1)$.

Чтобы привести это выражение к стандартному виду с факториалами, умножим и разделим его на $(n-k)!$: $A_n^k = \frac{n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot (n-k+1) \cdot (n-k)!}{(n-k)!}$

В числителе получилось произведение всех целых чисел от $n$ до 1, что по определению является факториалом числа $n$, то есть $n!$. Таким образом, получаем искомую формулу: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
Что и требовалось доказать.