Номер 1.60, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.5. Размещения. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.60, страница 27.

1.60 Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами:

а) две;

б) три;

в) четыре разные путёвки в санатории?

Для решения этой задачи используется раздел математики, называемый комбинаторикой. Так как все путевки, которые нужно распределить, являются разными, то порядок их распределения имеет значение. Например, ситуация, когда человек А получает путевку 1, а человек Б — путевку 2, отличается от ситуации, когда человек А получает путевку 2, а человек Б — путевку 1. Кроме того, один человек не может получить более одной путевки.

Такие комбинации, где важен порядок элементов и элементы не повторяются, называются размещениями без повторений.

Число размещений без повторений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:
$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае, общее число людей $n = 6$, а $k$ — это количество путевок, которое меняется в каждом подпункте.

а) Распределить две разные путевки.
Здесь количество путевок $k=2$. Нужно найти число способов распределить 2 разные путевки среди 6 человек.
Первую путевку можно отдать любому из 6 человек (6 вариантов).
Вторую путевку можно отдать любому из оставшихся 5 человек (5 вариантов).
Общее число способов равно произведению вариантов: $6 \cdot 5 = 30$.
Или, используя формулу размещений:
$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = 5 \cdot 6 = 30$.
Ответ: 30.

б) Распределить три разные путевки.
Здесь количество путевок $k=3$.
Первую путевку можно отдать любому из 6 человек.
Вторую — любому из 5 оставшихся.
Третью — любому из 4 оставшихся.
Общее число способов: $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
По формуле размещений:
$A_6^3 = \frac{6!}{(6-3)!} = \frac{6!}{3!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
Ответ: 120.

в) Распределить четыре разные путевки.
Здесь количество путевок $k=4$.
Рассуждая аналогично предыдущим пунктам, получаем:
$6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
По формуле размещений:
$A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360$.
Ответ: 360.