Номер 1.61, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.5. Размещения. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.61, страница 27.

1.61 Найдите натуральное число x, для которого выполняется равенство:

а) $A_x^2 = 72;$ б) $A_{x-1}^2 = 110;$

в) $A_{x+1}^2 = 90;$ г) $A_x^3 - A_x^2 = 0;$

д) $A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = 96;$ е) $A_{x+1}^4 + A_x^4 = 144.$

а) $A_x^2 = 72$

Число размещений из $n$ по $k$ определяется формулой $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)...(n-k+1)$.
Для $A_x^2$ имеем $n=x$ и $k=2$, поэтому $A_x^2 = x(x-1)$.
Уравнение принимает вид:
$x(x-1) = 72$
$x^2 - x - 72 = 0$
Решаем квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: их произведение равно -72, а сумма равна 1. Это числа 9 и -8. Также можно использовать формулу для корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72)}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 288}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{289}}{2} = \frac{1 \pm 17}{2}$
$x_1 = \frac{1 + 17}{2} = 9$
$x_2 = \frac{1 - 17}{2} = -8$
По условию, $x$ - натуральное число, поэтому $x>0$. Также для существования $A_x^2$ необходимо, чтобы $x \ge 2$.
Корень $x = -8$ не является натуральным числом. Корень $x=9$ удовлетворяет всем условиям.
Ответ: $x=9$

б) $A_{x-1}^2 = 110$

Здесь $n=x-1$ и $k=2$. Формула для размещений дает $A_{x-1}^2 = (x-1)((x-1)-1) = (x-1)(x-2)$.
Получаем уравнение:
$(x-1)(x-2) = 110$
$x^2 - 2x - x + 2 = 110$
$x^2 - 3x - 108 = 0$
Решаем квадратное уравнение:
$x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108)}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 432}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{3 \pm 21}{2}$
$x_1 = \frac{3 + 21}{2} = 12$
$x_2 = \frac{3 - 21}{2} = -9$
По условию, $x$ - натуральное число. Также для $A_{x-1}^2$ должно выполняться условие $x-1 \ge 2$, то есть $x \ge 3$.
Корень $x = -9$ не подходит. Корень $x=12$ удовлетворяет условиям.
Ответ: $x=12$

в) $A_{x+1}^2 = 90$

Здесь $n=x+1$ и $k=2$. Формула для размещений дает $A_{x+1}^2 = (x+1)((x+1)-1) = (x+1)x$.
Получаем уравнение:
$x(x+1) = 90$
$x^2 + x - 90 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 9$, $x_2 = -10$.
По условию, $x$ - натуральное число. Для $A_{x+1}^2$ должно выполняться условие $x+1 \ge 2$, то есть $x \ge 1$.
Корень $x = -10$ не подходит. Корень $x=9$ удовлетворяет условиям.
Ответ: $x=9$

г) $A_x^3 - A_x^2 = 0$

Используем формулы $A_x^3 = x(x-1)(x-2)$ и $A_x^2 = x(x-1)$.
Уравнение можно переписать как $A_x^3 = A_x^2$.
$x(x-1)(x-2) = x(x-1)$
Для существования $A_x^3$ необходимо $x \ge 3$, а для $A_x^2$ необходимо $x \ge 2$. Общее условие: $x \ge 3$.
При $x \ge 3$, выражения $x$ и $x-1$ не равны нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $x(x-1)$:
$x - 2 = 1$
$x = 3$
Найденное значение $x=3$ удовлетворяет условию $x \ge 3$.
Ответ: $x=3$

д) $A_{x+1}^3 - A_{x-1}^3 = 96$

Используем формулы $A_{x+1}^3 = (x+1)x(x-1)$ и $A_{x-1}^3 = (x-1)(x-2)(x-3)$.
Условия существования: для $A_{x+1}^3$ нужно $x+1 \ge 3 \implies x \ge 2$; для $A_{x-1}^3$ нужно $x-1 \ge 3 \implies x \ge 4$. Общее условие: $x \ge 4$.
Подставляем выражения в уравнение:
$(x+1)x(x-1) - (x-1)(x-2)(x-3) = 96$
Вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:
$(x-1)[(x+1)x - (x-2)(x-3)] = 96$
$(x-1)[(x^2+x) - (x^2 - 5x + 6)] = 96$
$(x-1)[x^2 + x - x^2 + 5x - 6] = 96$
$(x-1)(6x - 6) = 96$
$6(x-1)^2 = 96$
$(x-1)^2 = 16$
Отсюда $x-1 = 4$ или $x-1 = -4$.
$x = 5$ или $x = -3$.
Учитывая, что $x$ - натуральное число и $x \ge 4$, подходит только $x=5$.
Ответ: $x=5$

е) $A_{x+1}^4 + A_x^4 = 144$

Используем формулы $A_{x+1}^4 = (x+1)x(x-1)(x-2)$ и $A_x^4 = x(x-1)(x-2)(x-3)$.
Условия существования: для $A_{x+1}^4$ нужно $x+1 \ge 4 \implies x \ge 3$; для $A_x^4$ нужно $x \ge 4$. Общее условие: $x \ge 4$.
Подставляем выражения в уравнение:
$(x+1)x(x-1)(x-2) + x(x-1)(x-2)(x-3) = 144$
Вынесем общий множитель $x(x-1)(x-2)$ за скобки:
$x(x-1)(x-2)[(x+1) + (x-3)] = 144$
$x(x-1)(x-2)(2x-2) = 144$
$2x(x-1)(x-2)(x-1) = 144$
$x(x-1)^2(x-2) = 72$
Так как $x \ge 4$, решим уравнение подбором натурального числа.
Проверим $x=4$:
$4 \cdot (4-1)^2 \cdot (4-2) = 4 \cdot 3^2 \cdot 2 = 4 \cdot 9 \cdot 2 = 72$.
$72 = 72$.
Значение $x=4$ является решением. Функция $f(x) = x(x-1)^2(x-2)$ является возрастающей при $x \ge 4$, так как все множители положительны и возрастают. Следовательно, других натуральных решений, больших 4, нет.
Ответ: $x=4$