Номер 1.68, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.68, страница 30.

1.68 Вычислите:

а) $C_{10}^3 + C_9^3$;

б) $C_{11}^2 + C_9^3$;

в) $C_{15}^{11} - C_{16}^{14}$;

г) $\frac{C_7^4 + C_7^3}{C_7^4}$;

д) $\frac{C_{12}^4 - C_{12}^8}{C_{13}^7}$;

е) $\frac{C_{11}^5 + C_{11}^6}{C_{13}^7 + C_{13}^6}$.

а) $C_{10}^3 + C_9^3$

Для решения этой задачи вычислим каждое слагаемое отдельно, используя формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Вычисляем $C_{10}^3$:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Вычисляем $C_9^3$:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Теперь сложим полученные значения:

$120 + 84 = 204$.

Ответ: $204$.

б) $C_{11}^2 + C_9^3$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Вычисляем $C_{11}^2$:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.

Значение $C_9^3$ было вычислено в предыдущем пункте и равно 84.

Складываем полученные значения:

$55 + 84 = 139$.

Ответ: $139$.

в) $C_{15}^{11} - C_{16}^{14}$

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии для сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим это свойство к обоим членам выражения:

$C_{15}^{11} = C_{15}^{15-11} = C_{15}^4$.

$C_{16}^{14} = C_{16}^{16-14} = C_{16}^2$.

Теперь вычислим значения этих упрощенных выражений:

$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365$.

$C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!14!} = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 8 \cdot 15 = 120$.

Выполняем вычитание:

$1365 - 120 = 1245$.

Ответ: $1245$.

г) $\frac{C_7^4 + C_7^3}{C_7^4}$

Воспользуемся тождеством Паскаля для числителя дроби: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$.

При $n=7$ и $k=4$, получаем: $C_7^4 + C_7^3 = C_{7+1}^4 = C_8^4$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду $\frac{C_8^4}{C_7^4}$.

Теперь распишем сочетания по формуле и сократим дробь:

$\frac{C_8^4}{C_7^4} = \frac{\frac{8!}{4!(8-4)!}}{\frac{7!}{4!(7-4)!}} = \frac{\frac{8!}{4!4!}}{\frac{7!}{4!3!}} = \frac{8!}{4!4!} \cdot \frac{4!3!}{7!} = \frac{8 \cdot 7! \cdot 4! \cdot 3!}{4! \cdot 4 \cdot 3! \cdot 7!} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: $2$.

д) $\frac{C_{12}^4 - C_{12}^8}{C_{13}^7}$

Рассмотрим числитель дроби: $C_{12}^4 - C_{12}^8$.

Воспользуемся свойством симметрии для сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим его ко второму члену числителя:

$C_{12}^8 = C_{12}^{12-8} = C_{12}^4$.

Тогда числитель становится равен:

$C_{12}^4 - C_{12}^4 = 0$.

Так как числитель дроби равен нулю, а знаменатель $C_{13}^7$ не равен нулю, то вся дробь равна нулю.

$\frac{0}{C_{13}^7} = 0$.

Ответ: $0$.

е) $\frac{C_{11}^5 + C_{11}^6}{C_{13}^7 + C_{13}^6}$

Применим тождество Паскаля ($C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$) к числителю и знаменателю дроби.

Для числителя ($n=11, k=6$):

$C_{11}^5 + C_{11}^6 = C_{11+1}^6 = C_{12}^6$.

Для знаменателя ($n=13, k=7$):

$C_{13}^6 + C_{13}^7 = C_{13+1}^7 = C_{14}^7$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду:

$\frac{C_{12}^6}{C_{14}^7}$

Распишем сочетания по формуле и упростим выражение:

$\frac{C_{12}^6}{C_{14}^7} = \frac{\frac{12!}{6!(12-6)!}}{\frac{14!}{7!(14-7)!}} = \frac{\frac{12!}{6!6!}}{\frac{14!}{7!7!}} = \frac{12!}{6!6!} \cdot \frac{7!7!}{14!} = \frac{12! \cdot (7 \cdot 6!) \cdot (7 \cdot 6!)}{6! \cdot 6! \cdot (14 \cdot 13 \cdot 12!)} = \frac{7 \cdot 7}{14 \cdot 13} = \frac{49}{182}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{49}{182} = \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 26} = \frac{7}{26}$.

Ответ: $\frac{7}{26}$.