Номер 1.74, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.74, страница 30.

1.74* Найдите число всех подмножеств данного множества, содержащего $n$ элементов ($n$ — любое натуральное число).

Пусть дано множество $M$, содержащее $n$ различных элементов, например, $M = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$. Наша задача — найти общее число всех его подмножеств.

Чтобы сформировать подмножество, для каждого элемента из исходного множества $M$ необходимо принять решение: включать его в подмножество или нет. Таким образом, для каждого элемента существует ровно две возможности.

Для первого элемента $a_1$ есть 2 варианта (включить или не включить). Для второго элемента $a_2$ также есть 2 независимых варианта. Этот же принцип применяется ко всем $n$ элементам множества.

Поскольку выбор для каждого элемента не зависит от выбора для других, общее число всех возможных комбинаций (которое равно общему числу подмножеств) находится по правилу умножения в комбинаторике. Мы должны перемножить число вариантов для каждого из $n$ элементов:

$$ \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n \text{ множителей}} = 2^n $$

Этот результат включает в себя все возможные случаи: от подмножества, не содержащего ни одного элемента (пустое множество $\emptyset$), до подмножества, содержащего все $n$ элементов (само исходное множество $M$).

Ответ: $2^n$.