Номер 1.72, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.72, страница 30.

1.72 В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 36 партий. Определите число участников турнира.

Пусть $n$ — искомое число участников турнира.

В турнире каждый участник играет с каждым другим участником ровно одну партию. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Число партий равно числу способов выбрать 2 участников из $n$ без учета порядка.

Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 имеет вид: $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Согласно условию, общее количество сыгранных партий равно 36. Мы можем составить уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 36$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 72$

Мы получили уравнение, которое можно решить несколькими способами.

Способ 1: Решение квадратного уравнения

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $n^2 - n = 72$ $n^2 - n - 72 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D$ равен: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{289}}{2} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{289}}{2} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку число участников турнира ($n$) не может быть отрицательным, нам подходит только корень $n = 9$.

Способ 2: Логический подбор

В уравнении $n(n-1) = 72$ нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 72. Нетрудно догадаться, что это числа 8 и 9. Так как $n$ является большим из этих двух чисел, то $n=9$.

Проверим результат: если в турнире 9 участников, то количество сыгранных партий будет равно $\frac{9 \cdot (9-1)}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 9.