Номер 1.70, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.70, страница 30.

1.70 Докажите равенство:

а) $C_7^4 + 2C_6^3 + C_7^3 = 2C_{11}^2;$

б) $C_9^5 - 2C_8^5 + C_9^4 = 2C_8^4;$

в) $C_{12}^4 + 2C_{12}^5 + C_{12}^6 = C_{14}^6;$

г) $C_{15}^8 + 2C_{15}^9 + C_{15}^{10} = C_{17}^{10};$

а) Докажем равенство $C_7^4 + 2C_6^3 + C_7^3 = 2C_{11}^2$ путем прямого вычисления значений биномиальных коэффициентов. Формула для биномиального коэффициента: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Вычислим левую часть равенства (ЛЧ):

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

По свойству симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, имеем $C_7^3 = C_7^{7-3} = C_7^4 = 35$.

Тогда левая часть равна:
ЛЧ = $C_7^4 + 2C_6^3 + C_7^3 = 35 + 2 \cdot 20 + 35 = 35 + 40 + 35 = 110$.

Теперь вычислим правую часть равенства (ПЧ):

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.

ПЧ = $2 \cdot C_{11}^2 = 2 \cdot 55 = 110$.

Так как ЛЧ = ПЧ ($110 = 110$), равенство доказано.

Ответ:

б) Докажем равенство $C_9^5 - 2C_8^5 + C_9^4 = 2C_8^4$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства, используя тождество Паскаля $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$. Разложим члены $C_9^5$ и $C_9^4$:

$C_9^5 = C_8^5 + C_8^4$.

$C_9^4 = C_8^4 + C_8^3$.

Подставим эти выражения в левую часть:

ЛЧ = $(C_8^5 + C_8^4) - 2C_8^5 + (C_8^4 + C_8^3)$.

Сгруппируем слагаемые:

ЛЧ = $2C_8^4 + C_8^5 - 2C_8^5 + C_8^3 = 2C_8^4 - C_8^5 + C_8^3$.

Теперь используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$ для члена $C_8^5$:

$C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3$.

Подставим это в наше выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $2C_8^4 - C_8^3 + C_8^3 = 2C_8^4$.

Левая часть равна правой части (ПЧ), $2C_8^4$. Равенство доказано.

Ответ:

в) Докажем равенство $C_{12}^4 + 2C_{12}^5 + C_{12}^6 = C_{14}^6$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства. Представим $2C_{12}^5$ как сумму $C_{12}^5 + C_{12}^5$:

ЛЧ = $C_{12}^4 + C_{12}^5 + C_{12}^5 + C_{12}^6$.

Сгруппируем слагаемые и применим тождество Паскаля $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$:

ЛЧ = $(C_{12}^4 + C_{12}^5) + (C_{12}^5 + C_{12}^6)$.

Применяя тождество к каждой скобке, получаем:

$C_{12}^4 + C_{12}^5 = C_{13}^5$.

$C_{12}^5 + C_{12}^6 = C_{13}^6$.

Подставим обратно в выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $C_{13}^5 + C_{13}^6$.

Применим тождество Паскаля еще раз:

$C_{13}^5 + C_{13}^6 = C_{14}^6$.

Таким образом, ЛЧ = $C_{14}^6$, что равно правой части (ПЧ). Равенство доказано.

Ответ:

г) Докажем равенство $C_{15}^8 + 2C_{15}^9 + C_{15}^{10} = C_{17}^{10}$.

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Преобразуем левую часть (ЛЧ). Представим $2C_{15}^9$ как сумму $C_{15}^9 + C_{15}^9$:

ЛЧ = $C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^{10}$.

Сгруппируем слагаемые и применим тождество Паскаля $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$:

ЛЧ = $(C_{15}^8 + C_{15}^9) + (C_{15}^9 + C_{15}^{10})$.

Применяя тождество к каждой скобке, получаем:

$C_{15}^8 + C_{15}^9 = C_{16}^9$.

$C_{15}^9 + C_{15}^{10} = C_{16}^{10}$.

Подставим обратно в выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $C_{16}^9 + C_{16}^{10}$.

Применим тождество Паскаля еще раз:

$C_{16}^9 + C_{16}^{10} = C_{17}^{10}$.

Таким образом, ЛЧ = $C_{17}^{10}$, что равно правой части (ПЧ). Равенство доказано.

Ответ: