Страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.68 Вычислите:

а) $C_{10}^3 + C_9^3$;

б) $C_{11}^2 + C_9^3$;

в) $C_{15}^{11} - C_{16}^{14}$;

г) $\frac{C_7^4 + C_7^3}{C_7^4}$;

д) $\frac{C_{12}^4 - C_{12}^8}{C_{13}^7}$;

е) $\frac{C_{11}^5 + C_{11}^6}{C_{13}^7 + C_{13}^6}$.

а) $C_{10}^3 + C_9^3$

Для решения этой задачи вычислим каждое слагаемое отдельно, используя формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Вычисляем $C_{10}^3$:

$C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Вычисляем $C_9^3$:

$C_9^3 = \frac{9!}{3!(9-3)!} = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$.

Теперь сложим полученные значения:

$120 + 84 = 204$.

Ответ: $204$.

б) $C_{11}^2 + C_9^3$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Вычисляем $C_{11}^2$:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.

Значение $C_9^3$ было вычислено в предыдущем пункте и равно 84.

Складываем полученные значения:

$55 + 84 = 139$.

Ответ: $139$.

в) $C_{15}^{11} - C_{16}^{14}$

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии для сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим это свойство к обоим членам выражения:

$C_{15}^{11} = C_{15}^{15-11} = C_{15}^4$.

$C_{16}^{14} = C_{16}^{16-14} = C_{16}^2$.

Теперь вычислим значения этих упрощенных выражений:

$C_{15}^4 = \frac{15!}{4!(15-4)!} = \frac{15!}{4!11!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \cdot 7 \cdot 13 = 1365$.

$C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!14!} = \frac{16 \cdot 15}{2 \cdot 1} = 8 \cdot 15 = 120$.

Выполняем вычитание:

$1365 - 120 = 1245$.

Ответ: $1245$.

г) $\frac{C_7^4 + C_7^3}{C_7^4}$

Воспользуемся тождеством Паскаля для числителя дроби: $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$.

При $n=7$ и $k=4$, получаем: $C_7^4 + C_7^3 = C_{7+1}^4 = C_8^4$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду $\frac{C_8^4}{C_7^4}$.

Теперь распишем сочетания по формуле и сократим дробь:

$\frac{C_8^4}{C_7^4} = \frac{\frac{8!}{4!(8-4)!}}{\frac{7!}{4!(7-4)!}} = \frac{\frac{8!}{4!4!}}{\frac{7!}{4!3!}} = \frac{8!}{4!4!} \cdot \frac{4!3!}{7!} = \frac{8 \cdot 7! \cdot 4! \cdot 3!}{4! \cdot 4 \cdot 3! \cdot 7!} = \frac{8}{4} = 2$.

Ответ: $2$.

д) $\frac{C_{12}^4 - C_{12}^8}{C_{13}^7}$

Рассмотрим числитель дроби: $C_{12}^4 - C_{12}^8$.

Воспользуемся свойством симметрии для сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

Применим его ко второму члену числителя:

$C_{12}^8 = C_{12}^{12-8} = C_{12}^4$.

Тогда числитель становится равен:

$C_{12}^4 - C_{12}^4 = 0$.

Так как числитель дроби равен нулю, а знаменатель $C_{13}^7$ не равен нулю, то вся дробь равна нулю.

$\frac{0}{C_{13}^7} = 0$.

Ответ: $0$.

е) $\frac{C_{11}^5 + C_{11}^6}{C_{13}^7 + C_{13}^6}$

Применим тождество Паскаля ($C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$) к числителю и знаменателю дроби.

Для числителя ($n=11, k=6$):

$C_{11}^5 + C_{11}^6 = C_{11+1}^6 = C_{12}^6$.

Для знаменателя ($n=13, k=7$):

$C_{13}^6 + C_{13}^7 = C_{13+1}^7 = C_{14}^7$.

Таким образом, исходное выражение преобразуется к виду:

$\frac{C_{12}^6}{C_{14}^7}$

Распишем сочетания по формуле и упростим выражение:

$\frac{C_{12}^6}{C_{14}^7} = \frac{\frac{12!}{6!(12-6)!}}{\frac{14!}{7!(14-7)!}} = \frac{\frac{12!}{6!6!}}{\frac{14!}{7!7!}} = \frac{12!}{6!6!} \cdot \frac{7!7!}{14!} = \frac{12! \cdot (7 \cdot 6!) \cdot (7 \cdot 6!)}{6! \cdot 6! \cdot (14 \cdot 13 \cdot 12!)} = \frac{7 \cdot 7}{14 \cdot 13} = \frac{49}{182}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:

$\frac{49}{182} = \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 26} = \frac{7}{26}$.

Ответ: $\frac{7}{26}$.

1.69 Вычислите $\frac{C^3_{16} + C^2_{15} + C^1_{14}}{C^4_{16} + C^3_{15} + C^2_{14}}$.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов. Обозначим числитель как $N$ и знаменатель как $D$.

Вычисление числителя:

Числитель равен $N = C_{16}^3 + C_{15}^2 + C_{14}^1$.

Воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Применим его к каждому слагаемому в числителе:

• $C_{16}^3 = C_{16}^{16-3} = C_{16}^{13}$
• $C_{15}^2 = C_{15}^{15-2} = C_{15}^{13}$
• $C_{14}^1 = C_{14}^{14-1} = C_{14}^{13}$

Таким образом, числитель можно переписать в виде суммы: $N = C_{16}^{13} + C_{15}^{13} + C_{14}^{13}$.

Для вычисления этой суммы применим тождество "хоккейной клюшки" (или суммирования по верхнему индексу), которое гласит: $\sum_{i=k}^n C_i^k = C_{n+1}^{k+1}$.

Наша сумма $N = C_{14}^{13} + C_{15}^{13} + C_{16}^{13}$ является частью суммы для тождества, которая должна начинаться с члена $C_{13}^{13}$. Добавим и вычтем этот член:

$N = (C_{13}^{13} + C_{14}^{13} + C_{15}^{13} + C_{16}^{13}) - C_{13}^{13}$

Применяя тождество к сумме в скобках, получаем:

$N = C_{16+1}^{13+1} - C_{13}^{13} = C_{17}^{14} - 1$

Теперь вычислим $C_{17}^{14}$, снова используя свойство симметрии: $C_{17}^{14} = C_{17}^{17-14} = C_{17}^3$.

$C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 8 \cdot 5 = 680$

Следовательно, числитель равен: $N = 680 - 1 = 679$.

Вычисление знаменателя:

Знаменатель равен $D = C_{16}^4 + C_{15}^3 + C_{14}^2$.

Проведем аналогичные преобразования, используя свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:

• $C_{16}^4 = C_{16}^{16-4} = C_{16}^{12}$
• $C_{15}^3 = C_{15}^{15-3} = C_{15}^{12}$
• $C_{14}^2 = C_{14}^{14-2} = C_{14}^{12}$

Знаменатель можно представить в виде суммы: $D = C_{16}^{12} + C_{15}^{12} + C_{14}^{12}$.

Применим тождество "хоккейной клюшки" для суммы $D = C_{14}^{12} + C_{15}^{12} + C_{16}^{12}$. Для этого дополним сумму членами $C_{12}^{12}$ и $C_{13}^{12}$:

$D = (C_{12}^{12} + C_{13}^{12} + C_{14}^{12} + C_{15}^{12} + C_{16}^{12}) - C_{12}^{12} - C_{13}^{12}$

Применяя тождество к сумме в скобках, получаем:

$D = C_{16+1}^{12+1} - C_{12}^{12} - C_{13}^{12} = C_{17}^{13} - 1 - 13 = C_{17}^{13} - 14$

Вычислим $C_{17}^{13}$, используя свойство симметрии: $C_{17}^{13} = C_{17}^{17-13} = C_{17}^4$.

$C_{17}^4 = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 14 = 2380$

Следовательно, знаменатель равен: $D = 2380 - 14 = 2366$.

Итоговое вычисление:

Теперь найдем значение исходной дроби:

$\frac{N}{D} = \frac{679}{2366}$

Для упрощения дроби разложим числитель на множители. $679$ делится на $7$: $679 = 7 \cdot 97$. Проверим, делится ли знаменатель на $7$: $2366 \div 7 = 338$.

Сократим дробь на $7$:

$\frac{679}{2366} = \frac{7 \cdot 97}{7 \cdot 338} = \frac{97}{338}$

Число $97$ является простым. Разложим знаменатель $338$ на простые множители: $338 = 2 \cdot 169 = 2 \cdot 13^2$. Так как $97$ не делится ни на $2$, ни на $13$, полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{97}{338}$.

1.70 Докажите равенство:

а) $C_7^4 + 2C_6^3 + C_7^3 = 2C_{11}^2;$

б) $C_9^5 - 2C_8^5 + C_9^4 = 2C_8^4;$

в) $C_{12}^4 + 2C_{12}^5 + C_{12}^6 = C_{14}^6;$

г) $C_{15}^8 + 2C_{15}^9 + C_{15}^{10} = C_{17}^{10};$

а) Докажем равенство $C_7^4 + 2C_6^3 + C_7^3 = 2C_{11}^2$ путем прямого вычисления значений биномиальных коэффициентов. Формула для биномиального коэффициента: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Вычислим левую часть равенства (ЛЧ):

$C_7^4 = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.

По свойству симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$, имеем $C_7^3 = C_7^{7-3} = C_7^4 = 35$.

Тогда левая часть равна:
ЛЧ = $C_7^4 + 2C_6^3 + C_7^3 = 35 + 2 \cdot 20 + 35 = 35 + 40 + 35 = 110$.

Теперь вычислим правую часть равенства (ПЧ):

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11!}{2!9!} = \frac{11 \cdot 10}{2 \cdot 1} = 55$.

ПЧ = $2 \cdot C_{11}^2 = 2 \cdot 55 = 110$.

Так как ЛЧ = ПЧ ($110 = 110$), равенство доказано.

Ответ:

б) Докажем равенство $C_9^5 - 2C_8^5 + C_9^4 = 2C_8^4$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства, используя тождество Паскаля $C_n^k = C_{n-1}^{k-1} + C_{n-1}^k$. Разложим члены $C_9^5$ и $C_9^4$:

$C_9^5 = C_8^5 + C_8^4$.

$C_9^4 = C_8^4 + C_8^3$.

Подставим эти выражения в левую часть:

ЛЧ = $(C_8^5 + C_8^4) - 2C_8^5 + (C_8^4 + C_8^3)$.

Сгруппируем слагаемые:

ЛЧ = $2C_8^4 + C_8^5 - 2C_8^5 + C_8^3 = 2C_8^4 - C_8^5 + C_8^3$.

Теперь используем свойство симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$ для члена $C_8^5$:

$C_8^5 = C_8^{8-5} = C_8^3$.

Подставим это в наше выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $2C_8^4 - C_8^3 + C_8^3 = 2C_8^4$.

Левая часть равна правой части (ПЧ), $2C_8^4$. Равенство доказано.

Ответ:

в) Докажем равенство $C_{12}^4 + 2C_{12}^5 + C_{12}^6 = C_{14}^6$.

Преобразуем левую часть (ЛЧ) равенства. Представим $2C_{12}^5$ как сумму $C_{12}^5 + C_{12}^5$:

ЛЧ = $C_{12}^4 + C_{12}^5 + C_{12}^5 + C_{12}^6$.

Сгруппируем слагаемые и применим тождество Паскаля $C_n^k + C_n^{k+1} = C_{n+1}^{k+1}$:

ЛЧ = $(C_{12}^4 + C_{12}^5) + (C_{12}^5 + C_{12}^6)$.

Применяя тождество к каждой скобке, получаем:

$C_{12}^4 + C_{12}^5 = C_{13}^5$.

$C_{12}^5 + C_{12}^6 = C_{13}^6$.

Подставим обратно в выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $C_{13}^5 + C_{13}^6$.

Применим тождество Паскаля еще раз:

$C_{13}^5 + C_{13}^6 = C_{14}^6$.

Таким образом, ЛЧ = $C_{14}^6$, что равно правой части (ПЧ). Равенство доказано.

Ответ:

г) Докажем равенство $C_{15}^8 + 2C_{15}^9 + C_{15}^{10} = C_{17}^{10}$.

Доказательство аналогично предыдущему пункту. Преобразуем левую часть (ЛЧ). Представим $2C_{15}^9$ как сумму $C_{15}^9 + C_{15}^9$:

ЛЧ = $C_{15}^8 + C_{15}^9 + C_{15}^9 + C_{15}^{10}$.

Сгруппируем слагаемые и применим тождество Паскаля $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$:

ЛЧ = $(C_{15}^8 + C_{15}^9) + (C_{15}^9 + C_{15}^{10})$.

Применяя тождество к каждой скобке, получаем:

$C_{15}^8 + C_{15}^9 = C_{16}^9$.

$C_{15}^9 + C_{15}^{10} = C_{16}^{10}$.

Подставим обратно в выражение для ЛЧ:

ЛЧ = $C_{16}^9 + C_{16}^{10}$.

Применим тождество Паскаля еще раз:

$C_{16}^9 + C_{16}^{10} = C_{17}^{10}$.

Таким образом, ЛЧ = $C_{17}^{10}$, что равно правой части (ПЧ). Равенство доказано.

Ответ:

1.71 При встрече $n$ друзей обменялись рукопожатиями. Определите число рукопожатий.

Чтобы определить общее число рукопожатий, нужно найти количество всех уникальных пар, которые можно составить из $n$ друзей. Каждое рукопожатие — это взаимодействие между двумя людьми, и порядок в паре не важен (рукопожатие между другом А и другом Б — это то же самое, что и рукопожатие между Б и А).

Эта задача является классической задачей комбинаторики и решается с помощью формулы для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$. Формула имеет вид:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее количество людей (элементов) равно $n$, а для одного рукопожатия требуется выбрать $k=2$ человека. Подставляем эти значения в формулу:
Число рукопожатий = $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!}$

Для упрощения выражения раскроем факториалы ($n! = n \times (n-1) \times (n-2)!$ и $2! = 2 \times 1 = 2$):
$C_n^2 = \frac{n \times (n-1) \times (n-2)!}{2 \times (n-2)!}$

Сократив общий множитель $(n-2)!$ в числителе и знаменателе, получаем итоговую формулу:
$C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$

Также можно рассуждать последовательно: первый друг пожимает руку $n-1$ другим. Второй пожимает руку оставшимся $n-2$ друзьям (его рукопожатие с первым уже посчитано). Третий — $n-3$ друзьям, и так далее до предпоследнего, который сделает одно рукопожатие с последним. Общее число рукопожатий будет суммой арифметической прогрессии: $S = (n-1) + (n-2) + \dots + 1$. Эта сумма также равна $\frac{n(n-1)}{2}$.

Ответ: $\frac{n(n-1)}{2}$

1.72 В турнире по шахматам каждый участник сыграл с каждым по одной партии, всего было сыграно 36 партий. Определите число участников турнира.

Пусть $n$ — искомое число участников турнира.

В турнире каждый участник играет с каждым другим участником ровно одну партию. Это классическая задача на нахождение числа сочетаний. Число партий равно числу способов выбрать 2 участников из $n$ без учета порядка.

Формула для числа сочетаний из $n$ по 2 имеет вид: $C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

Согласно условию, общее количество сыгранных партий равно 36. Мы можем составить уравнение: $\frac{n(n-1)}{2} = 36$

Чтобы решить это уравнение, умножим обе его части на 2: $n(n-1) = 72$

Мы получили уравнение, которое можно решить несколькими способами.

Способ 1: Решение квадратного уравнения

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду: $n^2 - n = 72$ $n^2 - n - 72 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Дискриминант $D$ равен: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289$

Корни уравнения: $n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{289}}{2} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$ $n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{289}}{2} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Поскольку число участников турнира ($n$) не может быть отрицательным, нам подходит только корень $n = 9$.

Способ 2: Логический подбор

В уравнении $n(n-1) = 72$ нам нужно найти два последовательных целых числа, произведение которых равно 72. Нетрудно догадаться, что это числа 8 и 9. Так как $n$ является большим из этих двух чисел, то $n=9$.

Проверим результат: если в турнире 9 участников, то количество сыгранных партий будет равно $\frac{9 \cdot (9-1)}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = \frac{72}{2} = 36$. Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 9.

1.73 В классе имеется шесть сильных математиков. Сколькими способами из них можно составить команду на районную олимпиаду по математике, если от класса можно послать команду:

а) из четырёх человек;

б) от двух до четырёх человек?

а) из четырёх человек;
Для решения этой задачи необходимо определить количество способов выбрать 4 человека из 6 без учета порядка. Это является классической задачей на нахождение числа сочетаний.
Общее количество математиков $n = 6$.
Количество человек в команде $k = 4$.
Формула для расчета числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит следующим образом:
$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$
Подставляя наши значения, получаем:
$C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4! \times 2 \times 1} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$
Таким образом, существует 15 способов составить команду из четырёх человек.
Ответ: 15

б) от двух до четырёх человек?
В данном случае команда может состоять из двух, трёх или четырёх человек. Так как эти варианты взаимоисключающие, общее количество способов находится как сумма способов для каждого размера команды (по правилу суммы в комбинаторике).
Необходимо рассчитать число сочетаний для каждого случая и сложить результаты.
1. Количество способов сформировать команду из 2 человек ($k=2$):
$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$
2. Количество способов сформировать команду из 3 человек ($k=3$):
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3! \cdot 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
3. Количество способов сформировать команду из 4 человек ($k=4$):
Этот результат уже был найден в пункте а): $C_6^4 = 15$.
Теперь просуммируем количество способов для всех возможных составов команды:
$N_{общ} = C_6^2 + C_6^3 + C_6^4 = 15 + 20 + 15 = 50$
Следовательно, существует 50 способов составить команду, в которой от двух до четырёх человек.
Ответ: 50

1.74* Найдите число всех подмножеств данного множества, содержащего $n$ элементов ($n$ — любое натуральное число).

Пусть дано множество $M$, содержащее $n$ различных элементов, например, $M = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$. Наша задача — найти общее число всех его подмножеств.

Чтобы сформировать подмножество, для каждого элемента из исходного множества $M$ необходимо принять решение: включать его в подмножество или нет. Таким образом, для каждого элемента существует ровно две возможности.

Для первого элемента $a_1$ есть 2 варианта (включить или не включить). Для второго элемента $a_2$ также есть 2 независимых варианта. Этот же принцип применяется ко всем $n$ элементам множества.

Поскольку выбор для каждого элемента не зависит от выбора для других, общее число всех возможных комбинаций (которое равно общему числу подмножеств) находится по правилу умножения в комбинаторике. Мы должны перемножить число вариантов для каждого из $n$ элементов:

$$ \underbrace{2 \times 2 \times \dots \times 2}_{n \text{ множителей}} = 2^n $$

Этот результат включает в себя все возможные случаи: от подмножества, не содержащего ни одного элемента (пустое множество $\emptyset$), до подмножества, содержащего все $n$ элементов (само исходное множество $M$).

Ответ: $2^n$.