Страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.62 Выпишите все сочетания из пяти элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ по два. Чему равно $C_5^2$?

Выпишите все сочетания из пяти элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ по два.

Сочетание — это набор элементов, в котором их порядок не имеет значения. Это означает, что, например, набор $\{x_1, x_2\}$ и набор $\{x_2, x_1\}$ являются одним и тем же сочетанием. Чтобы систематически выписать все сочетания из 5 элементов по 2, будем последовательно брать каждый элемент и составлять из него пары со всеми последующими элементами. Это позволит избежать повторений.

1. Начнем с элемента $x_1$ и составим все пары с ним:
$\{x_1, x_2\}$, $\{x_1, x_3\}$, $\{x_1, x_4\}$, $\{x_1, x_5\}$

2. Теперь возьмем элемент $x_2$ и составим пары с оставшимися элементами, которые имеют больший индекс:
$\{x_2, x_3\}$, $\{x_2, x_4\}$, $\{x_2, x_5\}$

3. Далее для элемента $x_3$:
$\{x_3, x_4\}$, $\{x_3, x_5\}$

4. И, наконец, для элемента $x_4$:
$\{x_4, x_5\}$

Всего мы получили $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ уникальных сочетаний.

Ответ: $\{x_1, x_2\}$, $\{x_1, x_3\}$, $\{x_1, x_4\}$, $\{x_1, x_5\}$, $\{x_2, x_3\}$, $\{x_2, x_4\}$, $\{x_2, x_5\}$, $\{x_3, x_4\}$, $\{x_3, x_5\}$, $\{x_4, x_5\}$.

Чему равно $C_5^2$?

$C_5^2$ — это обозначение числа сочетаний из 5 элементов по 2. Его значение можно найти с помощью формулы для числа сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов, выбираемых в каждом сочетании. В нашем случае $n=5$ и $k=2$.

Подставим эти значения в формулу:

$$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!}$$

Распишем факториалы и выполним вычисление. Удобно сократить $3!$ в числителе и знаменателе:

$$C_5^2 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$$

Результат вычисления совпадает с количеством сочетаний, которые были выписаны в первой части задания.

Ответ: $10$.

1.63 Вычислите:

а) $C_4^3$;

б) $C_5^4$;

в) $C_5^3$;

г) $C_7^4$;

д) $C_7^5$;

е) $C_8^6$.

Для вычисления числа сочетаний из $n$ по $k$, обозначаемого как $C_n^k$, используется следующая формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Также для упрощения расчетов удобно использовать свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

а) $C_4^3$

Воспользуемся свойством симметрии, чтобы упростить вычисление: $C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1$.

Далее вычисляем по формуле:

$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} = 4$.

Ответ: 4

б) $C_5^4$

Используем свойство симметрии: $C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1$.

Вычисляем:

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5$.

Ответ: 5

в) $C_5^3$

Вычисляем по основной формуле. Можно также применить свойство симметрии $C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2$, что приводит к тому же результату.

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10

г) $C_7^4$

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии: $C_7^4 = C_7^{7-4} = C_7^3$.

Теперь вычислим $C_7^3$:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35$.

Ответ: 35

д) $C_7^5$

Применим свойство симметрии: $C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$.

Вычисляем:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21

e) $C_8^6$

Используем свойство симметрии для упрощения: $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2$.

Вычисляем:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = \frac{56}{2} = 28$.

Ответ: 28

1.64 Используя равенство $C_n^k = C_n^{n-k}$, вычислите:

а) $C_{10}^9$;

б) $C_{10}^8$;

в) $C_{12}^{10}$;

г) $C_{12}^{11}$;

д) $C_{200}^{199}$;

е) $C_{2000}^{1999}$.

а) Для вычисления $C_{10}^9$ используем свойство симметрии сочетаний $C_n^k = C_n^{n-k}$. В данном случае $n=10$ и $k=9$.

$C_{10}^9 = C_{10}^{10-9} = C_{10}^1$

Число сочетаний из $n$ по 1 равно $n$, поэтому:

$C_{10}^1 = 10$

Ответ: 10

б) Применим то же свойство к $C_{10}^8$. Здесь $n=10$ и $k=8$.

$C_{10}^8 = C_{10}^{10-8} = C_{10}^2$

Вычислим значение по формуле числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$

Ответ: 45

в) Для $C_{12}^{10}$ имеем $n=12$ и $k=10$. Используем свойство симметрии:

$C_{12}^{10} = C_{12}^{12-10} = C_{12}^2$

Вычислим полученное значение:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \cdot 10!} = \frac{12 \cdot 11}{2 \cdot 1} = 6 \cdot 11 = 66$

Ответ: 66

г) Для $C_{12}^{11}$ имеем $n=12$ и $k=11$. Преобразуем выражение с помощью указанного равенства:

$C_{12}^{11} = C_{12}^{12-11} = C_{12}^1$

Число сочетаний из $n$ по 1 равно $n$, следовательно:

$C_{12}^1 = 12$

Ответ: 12

д) Для $C_{200}^{199}$ имеем $n=200$ и $k=199$. Используем свойство симметрии:

$C_{200}^{199} = C_{200}^{200-199} = C_{200}^1$

Как и в предыдущих случаях, где $k-1=0$, а $k=1$:

$C_{200}^1 = 200$

Ответ: 200

е) Для $C_{2000}^{1999}$ имеем $n=2000$ и $k=1999$. Аналогично предыдущим примерам, преобразуем выражение:

$C_{2000}^{1999} = C_{2000}^{2000-1999} = C_{2000}^1$

Вычисляем значение:

$C_{2000}^1 = 2000$

Ответ: 2000

1.65 Сколькими способами можно распределить две одинаковые путёвки между пятью лицами?

Данная задача заключается в определении количества способов распределения $k=2$ одинаковых предметов (путёвок) между $n=5$ различными людьми. Так как путёвки идентичны, порядок их вручения не важен, имеет значение только то, кто в итоге получит путёвки. Это классическая задача комбинаторики на сочетания с повторениями.

Решить задачу можно двумя способами.

Способ 1: Рассмотрение всех возможных случаев

Мы можем разделить все возможные варианты распределения на две независимые группы:

Случай 1: Два разных человека получают по одной путёвке.

В этом случае нам нужно выбрать 2 человека из 5. Поскольку путёвки одинаковые, порядок выбора людей не имеет значения. Количество таких выборок равно числу сочетаний из 5 по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем наши значения $n=5$ и $k=2$:

$C_{5}^{2} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

Случай 2: Один человек получает обе путёвки.

В этом случае нам нужно выбрать 1 человека из 5, который получит обе путёвки. Количество способов сделать это равно 5.

$C_{5}^{1} = \binom{5}{1} = 5$ способов.

Сложив количество способов в обоих случаях, мы получим общее количество способов распределения:

$10 + 5 = 15$ способов.

Способ 2: Использование формулы сочетаний с повторениями

Эта задача является стандартным примером на использование сочетаний с повторениями, где мы распределяем $k$ неразличимых предметов по $n$ различимым ячейкам. Формула для числа сочетаний с повторениями выглядит так:

$\bar{C}_{n}^{k} = C_{n+k-1}^{k} = \binom{n+k-1}{k}$

В нашей задаче количество путёвок $k=2$, а количество людей $n=5$.

Подставим эти значения в формулу:

$\bar{C}_{5}^{2} = C_{5+2-1}^{2} = C_{6}^{2} = \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$ способов.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 15

1.66 Сколькими способами можно присудить шести лицам три одинаковые премии?

Это задача из области комбинаторики. Нам необходимо найти количество способов выбрать 3 человека из 6 для награждения.

Поскольку все три премии одинаковые, порядок выбора награждаемых не имеет значения. Это означает, что мы должны использовать формулу для сочетаний, а не для размещений. Если мы выберем людей А, Б и В, это будет тот же самый исход, что и выбор В, А и Б.

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 6 элементов по 3. Предполагается, что каждая премия вручается разному человеку, то есть мы выбираем 3 уникальных человека из 6.

Формула для числа сочетаний без повторений из $n$ по $k$ имеет вид:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество лиц $n=6$, а количество премий $k=3$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{6} = 20$

Следовательно, существует 20 способов присудить три одинаковые премии шести лицам.

Ответ: 20

1.67 В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно:

а) назначить двух дежурных;

б) выбрать 28 человек для участия в осеннем кроссе?

а) назначить двух дежурных;

Для решения этой задачи нужно найти число сочетаний из 30 учащихся по 2, так как порядок выбора двух дежурных не имеет значения (пара учеников Иванов и Петров — это те же дежурные, что и Петров и Иванов).

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число учащихся $n = 30$, а количество дежурных, которых нужно выбрать, $k = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{28! \cdot 29 \cdot 30}{2 \cdot 1 \cdot 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 29 \cdot 15 = 435$

Следовательно, существует 435 способов назначить двух дежурных из 30 учащихся.

Ответ: 435.

б) выбрать 28 человек для участия в осеннем кроссе?

Здесь нам нужно выбрать группу из 28 человек из 30. Порядок, в котором мы выбираем учащихся, не важен, поэтому мы снова используем формулу для числа сочетаний.

Общее число учащихся $n = 30$, а количество человек для участия в кроссе $k = 28$.

$C_{30}^{28} = \frac{30!}{28!(30-28)!} = \frac{30!}{28! \cdot 2!} = \frac{28! \cdot 29 \cdot 30}{28! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 29 \cdot 15 = 435$

Заметим, что выбрать 28 человек для участия — это то же самое, что выбрать 2 человек, которые не будут участвовать. Поэтому количество способов в этой задаче равно количеству способов в предыдущей. Это подтверждается свойством сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Для нашего случая: $C_{30}^{28} = C_{30}^{30-28} = C_{30}^2 = 435$.

Ответ: 435.