Номер 1.65, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.65, страница 29.

1.65 Сколькими способами можно распределить две одинаковые путёвки между пятью лицами?

Данная задача заключается в определении количества способов распределения $k=2$ одинаковых предметов (путёвок) между $n=5$ различными людьми. Так как путёвки идентичны, порядок их вручения не важен, имеет значение только то, кто в итоге получит путёвки. Это классическая задача комбинаторики на сочетания с повторениями.

Решить задачу можно двумя способами.

Способ 1: Рассмотрение всех возможных случаев

Мы можем разделить все возможные варианты распределения на две независимые группы:

Случай 1: Два разных человека получают по одной путёвке.

В этом случае нам нужно выбрать 2 человека из 5. Поскольку путёвки одинаковые, порядок выбора людей не имеет значения. Количество таких выборок равно числу сочетаний из 5 по 2. Формула для числа сочетаний:

$C_{n}^{k} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем наши значения $n=5$ и $k=2$:

$C_{5}^{2} = \binom{5}{2} = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ способов.

Случай 2: Один человек получает обе путёвки.

В этом случае нам нужно выбрать 1 человека из 5, который получит обе путёвки. Количество способов сделать это равно 5.

$C_{5}^{1} = \binom{5}{1} = 5$ способов.

Сложив количество способов в обоих случаях, мы получим общее количество способов распределения:

$10 + 5 = 15$ способов.

Способ 2: Использование формулы сочетаний с повторениями

Эта задача является стандартным примером на использование сочетаний с повторениями, где мы распределяем $k$ неразличимых предметов по $n$ различимым ячейкам. Формула для числа сочетаний с повторениями выглядит так:

$\bar{C}_{n}^{k} = C_{n+k-1}^{k} = \binom{n+k-1}{k}$

В нашей задаче количество путёвок $k=2$, а количество людей $n=5$.

Подставим эти значения в формулу:

$\bar{C}_{5}^{2} = C_{5+2-1}^{2} = C_{6}^{2} = \binom{6}{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = \frac{30}{2} = 15$ способов.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 15