Номер 1.59, страница 27 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.5. Размещения. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.59, страница 27.

1.59 Вычислите:

а) $\frac{A_{12}^4 - A_{11}^4}{A_{10}^3}$;

б) $\frac{A_{15}^4 + A_{14}^5}{A_{15}^3}$;

в) $\frac{A_{13}^3}{A_{15}^3 - A_{14}^3}$;

г) $\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4 - A_{13}^4}$;

д) $\frac{A_{12}^4 \cdot 7!}{A_{11}^9}$;

е) $\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3 \cdot 12!}$

Для решения данных задач воспользуемся формулой для числа размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n(n-1)(n-2)...(n-k+1)$.

а) $\frac{A_{12}^4 - A_{11}^4}{A_{10}^3}$

Представим каждый член выражения, используя развернутую формулу размещений:

$A_{12}^4 = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9$

$A_{11}^4 = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8$

$A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8$

Подставим эти значения в исходное выражение. В числителе вынесем общие множители за скобки:

$\frac{A_{12}^4 - A_{11}^4}{A_{10}^3} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 - 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot (12 - 8)}{10 \cdot 9 \cdot 8}$

Сократим общие множители в числителе и знаменателе:

$\frac{11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 4}{10 \cdot 9 \cdot 8} = \frac{11 \cdot 4}{8} = \frac{44}{8} = \frac{11}{2} = 5.5$

Ответ: 5.5

б) $\frac{A_{15}^4 + A_{14}^5}{A_{15}^3}$

Представим каждый член выражения:

$A_{15}^4 = 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12$

$A_{14}^5 = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$

$A_{15}^3 = 15 \cdot 14 \cdot 13$

Подставим в выражение и вынесем общие множители в числителе:

$\frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 + 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot (15 + 11 \cdot 10)}{15 \cdot 14 \cdot 13}$

Выполним вычисления в скобках и сократим дробь:

$\frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot (15 + 110)}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 125}{15 \cdot 14 \cdot 13} = \frac{12 \cdot 125}{15} = \frac{12}{15} \cdot 125 = \frac{4}{5} \cdot 125 = 4 \cdot 25 = 100$

Ответ: 100

в) $\frac{A_{13}^3}{A_{15}^3 - A_{14}^3}$

Представим каждый член выражения:

$A_{13}^3 = 13 \cdot 12 \cdot 11$

$A_{15}^3 = 15 \cdot 14 \cdot 13$

$A_{14}^3 = 14 \cdot 13 \cdot 12$

Подставим в выражение и вынесем общие множители в знаменателе:

$\frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{15 \cdot 14 \cdot 13 - 14 \cdot 13 \cdot 12} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{14 \cdot 13 \cdot (15 - 12)} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{14 \cdot 13 \cdot 3}$

Сократим дробь:

$\frac{12 \cdot 11}{14 \cdot 3} = \frac{4 \cdot 11}{14} = \frac{2 \cdot 11}{7} = \frac{22}{7}$

Ответ: $\frac{22}{7}$

г) $\frac{A_{13}^3}{A_{14}^4 - A_{13}^4}$

Представим каждый член выражения:

$A_{13}^3 = 13 \cdot 12 \cdot 11$

$A_{14}^4 = 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11$

$A_{13}^4 = 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10$

Подставим в выражение и вынесем общие множители в знаменателе:

$\frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 - 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot (14 - 10)} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11}{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 4}$

Сократим общие множители:

$\frac{1}{4}$

Ответ: $\frac{1}{4}$

д) $\frac{A_{12}^4 \cdot 7!}{A_{11}^9}$

Для этого примера удобнее использовать формулу с факториалами $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

$A_{12}^4 = \frac{12!}{(12-4)!} = \frac{12!}{8!}$

$A_{11}^9 = \frac{11!}{(11-9)!} = \frac{11!}{2!}$

Подставим в выражение:

$\frac{\frac{12!}{8!} \cdot 7!}{\frac{11!}{2!}} = \frac{12! \cdot 7! \cdot 2!}{8! \cdot 11!}$

Упростим выражение, используя свойства факториалов $n! = n \cdot (n-1)!$:

$\frac{12 \cdot 11! \cdot 7! \cdot 2!}{8 \cdot 7! \cdot 11!} = \frac{12 \cdot 2!}{8} = \frac{12 \cdot 2}{8} = \frac{24}{8} = 3$

Ответ: 3

е) $\frac{A_{15}^{12}}{A_{16}^3 \cdot 12!}$

Используем формулу с факториалами:

$A_{15}^{12} = \frac{15!}{(15-12)!} = \frac{15!}{3!}$

$A_{16}^3 = \frac{16!}{(16-3)!} = \frac{16!}{13!}$

Подставим в выражение:

$\frac{\frac{15!}{3!}}{\frac{16!}{13!} \cdot 12!} = \frac{15!}{3!} \cdot \frac{13!}{16! \cdot 12!}$

Упростим выражение:

$\frac{15! \cdot 13!}{3! \cdot (16 \cdot 15!) \cdot 12!} = \frac{13!}{3! \cdot 16 \cdot 12!} = \frac{13 \cdot 12!}{3! \cdot 16 \cdot 12!} = \frac{13}{3! \cdot 16} = \frac{13}{6 \cdot 16} = \frac{13}{96}$

Ответ: $\frac{13}{96}$