Номер 1.63, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.63, страница 29.

1.63 Вычислите:

а) $C_4^3$;

б) $C_5^4$;

в) $C_5^3$;

г) $C_7^4$;

д) $C_7^5$;

е) $C_8^6$.

Для вычисления числа сочетаний из $n$ по $k$, обозначаемого как $C_n^k$, используется следующая формула:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

где $n!$ (n-факториал) – это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Также для упрощения расчетов удобно использовать свойство симметрии: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

а) $C_4^3$

Воспользуемся свойством симметрии, чтобы упростить вычисление: $C_4^3 = C_4^{4-3} = C_4^1$.

Далее вычисляем по формуле:

$C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1! \cdot 3!} = \frac{4 \cdot 3!}{1 \cdot 3!} = 4$.

Ответ: 4

б) $C_5^4$

Используем свойство симметрии: $C_5^4 = C_5^{5-4} = C_5^1$.

Вычисляем:

$C_5^1 = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1! \cdot 4!} = \frac{5 \cdot 4!}{1 \cdot 4!} = 5$.

Ответ: 5

в) $C_5^3$

Вычисляем по основной формуле. Можно также применить свойство симметрии $C_5^3 = C_5^{5-3} = C_5^2$, что приводит к тому же результату.

$C_5^3 = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{3! \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5 \cdot 4}{2} = \frac{20}{2} = 10$.

Ответ: 10

г) $C_7^4$

Для упрощения вычислений воспользуемся свойством симметрии: $C_7^4 = C_7^{7-4} = C_7^3$.

Теперь вычислим $C_7^3$:

$C_7^3 = \frac{7!}{3!(7-3)!} = \frac{7!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{3! \cdot 4!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{210}{6} = 35$.

Ответ: 35

д) $C_7^5$

Применим свойство симметрии: $C_7^5 = C_7^{7-5} = C_7^2$.

Вычисляем:

$C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2! \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$.

Ответ: 21

e) $C_8^6$

Используем свойство симметрии для упрощения: $C_8^6 = C_8^{8-6} = C_8^2$.

Вычисляем:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6!}{2! \cdot 6!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = \frac{56}{2} = 28$.

Ответ: 28