Номер 1.56, страница 24 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.4. Перестановки. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.56, страница 24.

1.56* Задача-шутка. Как-то раз в воскресенье семеро друзей зашли в кафе, уселись за один столик и заказали мороженое. Хозяин кафе сказал, что если друзья в каждое следующее воскресенье будут садиться по-новому и перепробуют все способы посадки, то с этого момента он обещает кормить их мороженым бесплатно. Удастся ли друзьям воспользоваться предложением хозяина кафе?

Чтобы понять, смогут ли друзья воспользоваться предложением хозяина, нужно рассчитать общее количество способов, которыми семь человек могут сесть за столик. Эта задача из области комбинаторики и решается с помощью вычисления числа перестановок.

Число перестановок для $n$ различных элементов вычисляется по формуле $n!$ (n-факториал), что означает произведение всех целых чисел от 1 до $n$. В данном случае у нас 7 друзей, значит $n=7$.

Найдем общее количество уникальных способов рассадки:

$P_7 = 7! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7$

Выполним вычисления:

$7! = 5040$

Таким образом, существует 5040 различных вариантов, как друзья могут сесть за столик. Поскольку они пробуют новый вариант каждое воскресенье, им потребуется 5040 недель, чтобы перепробовать все комбинации.

Теперь переведем это количество недель в годы. В одном году примерно 52 недели. Рассчитаем, сколько лет понадобится друзьям:

$5040 \text{ недель} / 52 \text{ недели в году} \approx 96,92 \text{ года}$

Получается, что друзьям потребуется почти 97 лет, чтобы выполнить условие хозяина кафе. Очевидно, что за такой долгий срок воспользоваться щедрым предложением у них не получится. В этом и заключается шутка в условии задачи.

Ответ: Нет, друзьям не удастся воспользоваться предложением хозяина кафе, так как для того, чтобы перепробовать все возможные способы посадки, им потребуется почти 97 лет.