Номер 1.62, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.62, страница 29.

1.62 Выпишите все сочетания из пяти элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ по два. Чему равно $C_5^2$?

Выпишите все сочетания из пяти элементов $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ по два.

Сочетание — это набор элементов, в котором их порядок не имеет значения. Это означает, что, например, набор $\{x_1, x_2\}$ и набор $\{x_2, x_1\}$ являются одним и тем же сочетанием. Чтобы систематически выписать все сочетания из 5 элементов по 2, будем последовательно брать каждый элемент и составлять из него пары со всеми последующими элементами. Это позволит избежать повторений.

1. Начнем с элемента $x_1$ и составим все пары с ним:
$\{x_1, x_2\}$, $\{x_1, x_3\}$, $\{x_1, x_4\}$, $\{x_1, x_5\}$

2. Теперь возьмем элемент $x_2$ и составим пары с оставшимися элементами, которые имеют больший индекс:
$\{x_2, x_3\}$, $\{x_2, x_4\}$, $\{x_2, x_5\}$

3. Далее для элемента $x_3$:
$\{x_3, x_4\}$, $\{x_3, x_5\}$

4. И, наконец, для элемента $x_4$:
$\{x_4, x_5\}$

Всего мы получили $4 + 3 + 2 + 1 = 10$ уникальных сочетаний.

Ответ: $\{x_1, x_2\}$, $\{x_1, x_3\}$, $\{x_1, x_4\}$, $\{x_1, x_5\}$, $\{x_2, x_3\}$, $\{x_2, x_4\}$, $\{x_2, x_5\}$, $\{x_3, x_4\}$, $\{x_3, x_5\}$, $\{x_4, x_5\}$.

Чему равно $C_5^2$?

$C_5^2$ — это обозначение числа сочетаний из 5 элементов по 2. Его значение можно найти с помощью формулы для числа сочетаний:

$$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$

где $n$ — общее количество элементов, а $k$ — количество элементов, выбираемых в каждом сочетании. В нашем случае $n=5$ и $k=2$.

Подставим эти значения в формулу:

$$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2! \cdot 3!}$$

Распишем факториалы и выполним вычисление. Удобно сократить $3!$ в числителе и знаменателе:

$$C_5^2 = \frac{5 \cdot 4 \cdot 3!}{2! \cdot 3!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = \frac{20}{2} = 10$$

Результат вычисления совпадает с количеством сочетаний, которые были выписаны в первой части задания.

Ответ: $10$.