Номер 1.69, страница 30 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.69, страница 30.

1.69 Вычислите $\frac{C^3_{16} + C^2_{15} + C^1_{14}}{C^4_{16} + C^3_{15} + C^2_{14}}$.

Для вычисления значения данного выражения воспользуемся свойствами биномиальных коэффициентов. Обозначим числитель как $N$ и знаменатель как $D$.

Вычисление числителя:

Числитель равен $N = C_{16}^3 + C_{15}^2 + C_{14}^1$.

Воспользуемся свойством симметрии биномиальных коэффициентов: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Применим его к каждому слагаемому в числителе:

• $C_{16}^3 = C_{16}^{16-3} = C_{16}^{13}$
• $C_{15}^2 = C_{15}^{15-2} = C_{15}^{13}$
• $C_{14}^1 = C_{14}^{14-1} = C_{14}^{13}$

Таким образом, числитель можно переписать в виде суммы: $N = C_{16}^{13} + C_{15}^{13} + C_{14}^{13}$.

Для вычисления этой суммы применим тождество "хоккейной клюшки" (или суммирования по верхнему индексу), которое гласит: $\sum_{i=k}^n C_i^k = C_{n+1}^{k+1}$.

Наша сумма $N = C_{14}^{13} + C_{15}^{13} + C_{16}^{13}$ является частью суммы для тождества, которая должна начинаться с члена $C_{13}^{13}$. Добавим и вычтем этот член:

$N = (C_{13}^{13} + C_{14}^{13} + C_{15}^{13} + C_{16}^{13}) - C_{13}^{13}$

Применяя тождество к сумме в скобках, получаем:

$N = C_{16+1}^{13+1} - C_{13}^{13} = C_{17}^{14} - 1$

Теперь вычислим $C_{17}^{14}$, снова используя свойство симметрии: $C_{17}^{14} = C_{17}^{17-14} = C_{17}^3$.

$C_{17}^3 = \frac{17!}{3!(17-3)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 8 \cdot 5 = 680$

Следовательно, числитель равен: $N = 680 - 1 = 679$.

Вычисление знаменателя:

Знаменатель равен $D = C_{16}^4 + C_{15}^3 + C_{14}^2$.

Проведем аналогичные преобразования, используя свойство $C_n^k = C_n^{n-k}$:

• $C_{16}^4 = C_{16}^{16-4} = C_{16}^{12}$
• $C_{15}^3 = C_{15}^{15-3} = C_{15}^{12}$
• $C_{14}^2 = C_{14}^{14-2} = C_{14}^{12}$

Знаменатель можно представить в виде суммы: $D = C_{16}^{12} + C_{15}^{12} + C_{14}^{12}$.

Применим тождество "хоккейной клюшки" для суммы $D = C_{14}^{12} + C_{15}^{12} + C_{16}^{12}$. Для этого дополним сумму членами $C_{12}^{12}$ и $C_{13}^{12}$:

$D = (C_{12}^{12} + C_{13}^{12} + C_{14}^{12} + C_{15}^{12} + C_{16}^{12}) - C_{12}^{12} - C_{13}^{12}$

Применяя тождество к сумме в скобках, получаем:

$D = C_{16+1}^{12+1} - C_{12}^{12} - C_{13}^{12} = C_{17}^{13} - 1 - 13 = C_{17}^{13} - 14$

Вычислим $C_{17}^{13}$, используя свойство симметрии: $C_{17}^{13} = C_{17}^{17-13} = C_{17}^4$.

$C_{17}^4 = \frac{17!}{4!(17-4)!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 17 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 14 = 2380$

Следовательно, знаменатель равен: $D = 2380 - 14 = 2366$.

Итоговое вычисление:

Теперь найдем значение исходной дроби:

$\frac{N}{D} = \frac{679}{2366}$

Для упрощения дроби разложим числитель на множители. $679$ делится на $7$: $679 = 7 \cdot 97$. Проверим, делится ли знаменатель на $7$: $2366 \div 7 = 338$.

Сократим дробь на $7$:

$\frac{679}{2366} = \frac{7 \cdot 97}{7 \cdot 338} = \frac{97}{338}$

Число $97$ является простым. Разложим знаменатель $338$ на простые множители: $338 = 2 \cdot 169 = 2 \cdot 13^2$. Так как $97$ не делится ни на $2$, ни на $13$, полученная дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{97}{338}$.