Номер 1.67, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.6. Сочетания - номер 1.67, страница 29.

Условие.

1.67 В классе 30 учащихся. Сколькими способами можно:

а) назначить двух дежурных;

б) выбрать 28 человек для участия в осеннем кроссе?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) назначить двух дежурных;

Для решения этой задачи нужно найти число сочетаний из 30 учащихся по 2, так как порядок выбора двух дежурных не имеет значения (пара учеников Иванов и Петров — это те же дежурные, что и Петров и Иванов).

Формула для нахождения числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае общее число учащихся $n = 30$, а количество дежурных, которых нужно выбрать, $k = 2$.

Подставляем значения в формулу:

$C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30!}{2! \cdot 28!} = \frac{28! \cdot 29 \cdot 30}{2 \cdot 1 \cdot 28!} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 29 \cdot 15 = 435$

Следовательно, существует 435 способов назначить двух дежурных из 30 учащихся.

Ответ: 435.

б) выбрать 28 человек для участия в осеннем кроссе?

Здесь нам нужно выбрать группу из 28 человек из 30. Порядок, в котором мы выбираем учащихся, не важен, поэтому мы снова используем формулу для числа сочетаний.

Общее число учащихся $n = 30$, а количество человек для участия в кроссе $k = 28$.

$C_{30}^{28} = \frac{30!}{28!(30-28)!} = \frac{30!}{28! \cdot 2!} = \frac{28! \cdot 29 \cdot 30}{28! \cdot 2 \cdot 1} = \frac{29 \cdot 30}{2} = 29 \cdot 15 = 435$

Заметим, что выбрать 28 человек для участия — это то же самое, что выбрать 2 человек, которые не будут участвовать. Поэтому количество способов в этой задаче равно количеству способов в предыдущей. Это подтверждается свойством сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$. Для нашего случая: $C_{30}^{28} = C_{30}^{30-28} = C_{30}^2 = 435$.

Ответ: 435.