Номер 1.66, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.6. Сочетания - номер 1.66, страница 29.

Условие.

1.66 Сколькими способами можно присудить шести лицам три одинаковые премии?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Это задача из области комбинаторики. Нам необходимо найти количество способов выбрать 3 человека из 6 для награждения.

Поскольку все три премии одинаковые, порядок выбора награждаемых не имеет значения. Это означает, что мы должны использовать формулу для сочетаний, а не для размещений. Если мы выберем людей А, Б и В, это будет тот же самый исход, что и выбор В, А и Б.

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 6 элементов по 3. Предполагается, что каждая премия вручается разному человеку, то есть мы выбираем 3 уникальных человека из 6.

Формула для числа сочетаний без повторений из $n$ по $k$ имеет вид:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество лиц $n=6$, а количество премий $k=3$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{6} = 20$

Следовательно, существует 20 способов присудить три одинаковые премии шести лицам.

Ответ: 20