Номер 1.66, страница 29 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.6. Сочетания. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.66, страница 29.

1.66 Сколькими способами можно присудить шести лицам три одинаковые премии?

Это задача из области комбинаторики. Нам необходимо найти количество способов выбрать 3 человека из 6 для награждения.

Поскольку все три премии одинаковые, порядок выбора награждаемых не имеет значения. Это означает, что мы должны использовать формулу для сочетаний, а не для размещений. Если мы выберем людей А, Б и В, это будет тот же самый исход, что и выбор В, А и Б.

Задача сводится к нахождению числа сочетаний из 6 элементов по 3. Предполагается, что каждая премия вручается разному человеку, то есть мы выбираем 3 уникальных человека из 6.

Формула для числа сочетаний без повторений из $n$ по $k$ имеет вид:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае, общее количество лиц $n=6$, а количество премий $k=3$.

Подставляем значения в формулу и вычисляем:$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1)} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{120}{6} = 20$

Следовательно, существует 20 способов присудить три одинаковые премии шести лицам.

Ответ: 20