Номер 1.75, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.7*. Доказательство числовых неравенств. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.75, страница 34.

1.75° Сформулируйте свойства числовых неравенств.

Числовые неравенства обладают рядом свойств, которые позволяют производить с ними различные преобразования. Вот основные из них:

1. Свойство транзитивности

Если одно число $a$ больше второго числа $b$, а число $b$ в свою очередь больше третьего числа $c$, то первое число $a$ будет больше третьего числа $c$. Это свойство позволяет сравнивать числа через промежуточное значение. Аналогичное правило справедливо для знаков $<$, $\le$ и $\ge$.

Формально: если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

Например, если $10 > 5$ и $5 > 2$, то из этого следует, что $10 > 2$.

Ответ: Если $a > b$ и $b > c$, то $a > c$.

2. Свойство сложения и вычитания

Если к обеим частям верного числового неравенства прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом сохраняется.

Формально: если $a > b$, то для любого числа $c$ справедливо неравенство $a + c > b + c$.

Например, возьмем верное неравенство $8 > 3$. Прибавим к обеим частям число 5: $8 + 5 > 3 + 5$, что дает верное неравенство $13 > 8$.

Ответ: Если $a > b$, то $a+c > b+c$ для любого числа $c$.

3. Свойство умножения (и деления) на положительное число

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то получится верное неравенство. Знак неравенства при этом сохраняется.

Формально: если $a > b$ и $c > 0$, то $a \cdot c > b \cdot c$ и $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.

Например, возьмем верное неравенство $12 > 4$. Умножим обе части на положительное число 3: $12 \cdot 3 > 4 \cdot 3$, что дает верное неравенство $36 > 12$.

Ответ: Если $a > b$ и $c > 0$, то $a \cdot c > b \cdot c$.

4. Свойство умножения (и деления) на отрицательное число

Если обе части верного неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число и при этом изменить знак неравенства на противоположный ($>$ на $<$, $<$ на $>$, $\ge$ на $\le$, $\le$ на $\ge$), то получится верное неравенство.

Формально: если $a > b$ и $c < 0$, то $a \cdot c < b \cdot c$ и $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Например, возьмем верное неравенство $12 > 4$. Умножим обе части на отрицательное число -3 и сменим знак $>$ на $<$: $12 \cdot (-3) < 4 \cdot (-3)$, что дает верное неравенство $-36 < -12$.

Ответ: Если $a > b$ и $c < 0$, то $a \cdot c < b \cdot c$.

5. Свойство почленного сложения неравенств

Верные неравенства одного знака можно почленно складывать. В результате получится верное неравенство того же знака.

Формально: если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

Например, сложим два верных неравенства $7 > 2$ и $5 > 4$: $7 + 5 > 2 + 4$, что дает верное неравенство $12 > 6$.

Ответ: Если $a > b$ и $c > d$, то $a + c > b + d$.

6. Свойство почленного умножения неравенств

Верные неравенства одного знака, у которых левые и правые части — положительные числа, можно почленно перемножать. В результате получится верное неравенство того же знака.

Формально: если $a > b$, $c > d$ и при этом $a, b, c, d$ — положительные числа ($a,b,c,d>0$), то $a \cdot c > b \cdot d$.

Например, перемножим два верных неравенства с положительными членами $7 > 2$ и $5 > 4$: $7 \cdot 5 > 2 \cdot 4$, что дает верное неравенство $35 > 8$.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $c > d > 0$, то $a \cdot c > b \cdot d$.

7. Свойство возведения в натуральную степень

Если обе части верного неравенства являются положительными числами, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень. В результате получится верное неравенство того же знака.

Формально: если $a > b > 0$ и $n$ — натуральное число, то $a^n > b^n$.

Например, возьмем верное неравенство $5 > 3$. Возведем обе части в квадрат ($n=2$): $5^2 > 3^2$, что дает верное неравенство $25 > 9$.

Ответ: Если $a > b > 0$ и $n \in \mathbb{N}$, то $a^n > b^n$.