Номер 1.78, страница 34 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.7*. Доказательство числовых неравенств. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.78, страница 34.

1.78 Докажите, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника меньше куба гипотенузы.

Пусть $a$ и $b$ — длины катетов прямоугольного треугольника, а $c$ — длина его гипотенузы. Так как $a$, $b$ и $c$ являются длинами сторон треугольника, они являются положительными числами: $a > 0$, $b > 0$, $c > 0$.

Согласно теореме Пифагора, для любого прямоугольного треугольника выполняется равенство, связывающее длины его сторон:

$a^2 + b^2 = c^2$

Нам необходимо доказать, что сумма кубов катетов меньше куба гипотенузы, то есть:

$a^3 + b^3 < c^3$

В прямоугольном треугольнике каждый катет всегда короче гипотенузы. Это означает, что справедливы следующие неравенства:

$a < c$

$b < c$

Умножим обе части первого неравенства ($a < c$) на положительное число $a^2$. Знак неравенства при этом не изменится:

$a \cdot a^2 < c \cdot a^2$

$a^3 < ca^2$

Аналогично, умножим обе части второго неравенства ($b < c$) на положительное число $b^2$:

$b \cdot b^2 < c \cdot b^2$

$b^3 < cb^2$

Теперь сложим полученные строгие неравенства почленно:

$a^3 + b^3 < ca^2 + cb^2$

В правой части полученного неравенства вынесем общий множитель $c$ за скобки:

$a^3 + b^3 < c(a^2 + b^2)$

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора ($a^2 + b^2 = c^2$) для замены выражения в скобках:

$a^3 + b^3 < c \cdot c^2$

Выполнив умножение в правой части, получаем искомое неравенство:

$a^3 + b^3 < c^3$

Таким образом, мы доказали, что сумма кубов катетов прямоугольного треугольника всегда меньше куба гипотенузы.

Ответ: Утверждение доказано. Сумма кубов катетов ($a^3 + b^3$) прямоугольного треугольника меньше куба его гипотенузы ($c^3$).