Номер 1.85, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.8*. Делимость целых чисел - номер 1.85, страница 38.

Условие.

1.85 Докажите, что числа:

а) 1997 и 1999;

б) 1997 и 2002;

в) 2001 и 2006;

г) 2003 и 2009

являются взаимно простыми числами.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Два целых числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Чтобы доказать, что данные пары чисел являются взаимно простыми, мы найдем их НОД. Для этого удобно использовать алгоритм Евклида, в частности его свойство: $НОД(a, b) = НОД(a, b - a)$ для $b > a$.

а) Докажем, что числа 1997 и 1999 являются взаимно простыми.

Найдем НОД для чисел 1997 и 1999, используя указанное свойство:

$НОД(1999, 1997) = НОД(1997, 1999 - 1997) = НОД(1997, 2)$.

Число 2 — простое, его делители — это 1 и 2. Число 1997 является нечетным, так как оканчивается на цифру 7, следовательно, оно не делится на 2. Единственным общим делителем чисел 1997 и 2 является 1.

Таким образом, $НОД(1999, 1997) = 1$. Поскольку их наибольший общий делитель равен 1, числа 1997 и 1999 являются взаимно простыми.

Ответ: Доказано, что числа 1997 и 1999 являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1.

б) Докажем, что числа 1997 и 2002 являются взаимно простыми.

Найдем НОД для чисел 1997 и 2002:

$НОД(2002, 1997) = НОД(1997, 2002 - 1997) = НОД(1997, 5)$.

Число 5 — простое, его делители — это 1 и 5. Число 1997 не делится на 5, так как его последняя цифра (7) не является ни 0, ни 5. Следовательно, единственный общий делитель чисел 1997 и 5 — это 1.

Таким образом, $НОД(2002, 1997) = 1$. Поскольку их наибольший общий делитель равен 1, числа 1997 и 2002 являются взаимно простыми.

Ответ: Доказано, что числа 1997 и 2002 являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1.

в) Докажем, что числа 2001 и 2006 являются взаимно простыми.

Найдем НОД для чисел 2001 и 2006:

$НОД(2006, 2001) = НОД(2001, 2006 - 2001) = НОД(2001, 5)$.

Число 5 — простое, его делители — это 1 и 5. Число 2001 не делится на 5, так как его последняя цифра (1) не является ни 0, ни 5. Следовательно, единственный общий делитель чисел 2001 и 5 — это 1.

Таким образом, $НОД(2006, 2001) = 1$. Поскольку их наибольший общий делитель равен 1, числа 2001 и 2006 являются взаимно простыми.

Ответ: Доказано, что числа 2001 и 2006 являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1.

г) Докажем, что числа 2003 и 2009 являются взаимно простыми.

Найдем НОД для чисел 2003 и 2009:

$НОД(2009, 2003) = НОД(2003, 2009 - 2003) = НОД(2003, 6)$.

Теперь нужно найти общие делители у чисел 2003 и 6. Делители числа 6 — это 1, 2, 3, 6. Проверим, делится ли 2003 на простые делители числа 6, то есть на 2 и 3.

Число 2003 нечетное (оканчивается на 3), значит, на 2 оно не делится.

Сумма цифр числа 2003 равна $2+0+0+3=5$. Так как 5 не делится на 3, то и число 2003 не делится на 3 (согласно признаку делимости на 3).

Поскольку 2003 не делится ни на 2, ни на 3, у него нет общих делителей с числом 6, кроме 1.

Таким образом, $НОД(2003, 6) = 1$, а значит и $НОД(2009, 2003) = 1$. Поскольку их наибольший общий делитель равен 1, числа 2003 и 2009 являются взаимно простыми.

Ответ: Доказано, что числа 2003 и 2009 являются взаимно простыми, так как их НОД равен 1.