Номер 1.86, страница 38 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.8*. Делимость целых чисел - номер 1.86, страница 38.

Условие.

1.86 Докажите, что дроби:

а) $\frac{1997}{1999}$;

б) $\frac{2007}{1999}$;

в) $\frac{2011}{2027}$;

г) $\frac{3333}{3365}$

являются несократимыми.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Для того чтобы доказать, что дробь является несократимой, нужно показать, что её числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами. Это означает, что их наибольший общий делитель (НОД) равен 1. Для нахождения НОД мы будем использовать алгоритм Евклида, а именно его свойство: $НОД(a, b) = НОД(b, a-b)$ при $a > b$.

а)

Найдем $НОД(1999, 1997)$. $НОД(1999, 1997) = НОД(1997, 1999 - 1997) = НОД(1997, 2)$. Число 1997 является нечетным, поэтому оно не делится на 2. Следовательно, единственным общим положительным делителем для 1997 и 2 является 1. Таким образом, $НОД(1999, 1997) = 1$, и дробь $\frac{1997}{1999}$ несократима.

Ответ: Дробь является несократимой.

б)

Найдем $НОД(2007, 1999)$. $НОД(2007, 1999) = НОД(1999, 2007 - 1999) = НОД(1999, 8)$. Простые делители числа 8 — это только число 2 ($8 = 2^3$). Число 1999 является нечетным, поэтому оно не делится на 2. Значит, у чисел 1999 и 8 нет общих делителей, кроме 1. Следовательно, $НОД(2007, 1999) = 1$, и дробь $\frac{2007}{1999}$ несократима.

Ответ: Дробь является несократимой.

в)

Найдем $НОД(2027, 2011)$. $НОД(2027, 2011) = НОД(2011, 2027 - 2011) = НОД(2011, 16)$. Единственным простым делителем числа 16 является 2 ($16 = 2^4$). Число 2011 — нечетное, поэтому оно не делится на 2. Таким образом, у чисел 2011 и 16 нет общих делителей, отличных от 1. Следовательно, $НОД(2027, 2011) = 1$, и дробь $\frac{2011}{2027}$ несократима.

Ответ: Дробь является несократимой.

г)

Найдем $НОД(3365, 3333)$. $НОД(3365, 3333) = НОД(3333, 3365 - 3333) = НОД(3333, 32)$. Единственным простым делителем числа 32 является 2 ($32 = 2^5$). Число 3333 — нечетное, так как заканчивается на 3, и поэтому не делится на 2. Значит, у чисел 3333 и 32 нет общих делителей, кроме 1. Следовательно, $НОД(3365, 3333) = 1$, и дробь $\frac{3333}{3365}$ несократима.

Ответ: Дробь является несократимой.