Номер 1.92, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.9*. Сравнения по модулю m. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.92, страница 40.

1.92 Сформулируйте признак делимости на 11 и докажите его.

Формулировка признака делимости на 11

Натуральное число делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа налево, т.е. начиная с разряда единиц), и суммой его цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11.

Иначе говоря, для проверки делимости числа на 11 нужно найти знакопеременную сумму его цифр (первая цифра справа минус вторая плюс третья и т.д.). Если результат делится на 11 (в том числе если он равен 0), то и исходное число делится на 11.

Пример 1: Проверим число 87635.
Сумма цифр на нечётных местах (первое, третье, пятое): $5 + 6 + 8 = 19$.
Сумма цифр на чётных местах (второе, четвертое): $3 + 7 = 10$.
Разность сумм: $19 - 10 = 9$.
Число 9 не делится на 11, следовательно, число 87635 не делится на 11.

Пример 2: Проверим число 183942.
Сумма цифр на нечётных местах (первое, третье, пятое): $2 + 9 + 8 = 19$.
Сумма цифр на чётных местах (второе, четвертое, шестое): $4 + 3 + 1 = 8$.
Разность сумм: $19 - 8 = 11$.
Число 11 делится на 11, следовательно, число 183942 делится на 11 (проверка: $183942 \div 11 = 16722$).

Доказательство

Пусть дано натуральное число $N$. Представим его в десятичной системе счисления в виде суммы разрядных слагаемых: $N = a_k a_{k-1} ... a_1 a_0$, где $a_0$ — цифра в разряде единиц, $a_1$ — в разряде десятков, и так далее до $a_k$.
Тогда число $N$ можно записать как: $N = a_k \cdot 10^k + a_{k-1} \cdot 10^{k-1} + ... + a_1 \cdot 10^1 + a_0 \cdot 10^0 = \sum_{i=0}^{k} a_i 10^i$

Для доказательства признака делимости воспользуемся аппаратом теории сравнений по модулю. Рассмотрим остатки от деления степеней числа 10 на 11:
$10 \equiv -1 \pmod{11}$
Следовательно, для любого целого неотрицательного показателя степени $i$: $10^i \equiv (-1)^i \pmod{11}$
Это означает, что $10^i$ дает остаток 1 при делении на 11, если $i$ чётно, и остаток -1 (или 10), если $i$ нечётно.

Теперь подставим это в выражение для $N$ и рассмотрим его по модулю 11:
$N = \sum_{i=0}^{k} a_i 10^i \equiv \sum_{i=0}^{k} a_i (-1)^i \pmod{11}$
Распишем эту сумму:
$N \equiv a_0(-1)^0 + a_1(-1)^1 + a_2(-1)^2 + a_3(-1)^3 + ... + a_k(-1)^k \pmod{11}$
$N \equiv a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... + (-1)^k a_k \pmod{11}$

Число $N$ делится на 11 тогда и только тогда, когда его остаток от деления на 11 равен нулю, то есть $N \equiv 0 \pmod{11}$. Это условие равносильно тому, что знакопеременная сумма его цифр, взятых справа налево, делится на 11:
$a_0 - a_1 + a_2 - a_3 + ... \equiv 0 \pmod{11}$

Сгруппируем члены этой суммы:
$(a_0 + a_2 + a_4 + ...) - (a_1 + a_3 + a_5 + ...) \equiv 0 \pmod{11}$
Выражение в первой скобке — это сумма цифр, стоящих на нечётных позициях (местах), если считать справа налево (1-я, 3-я, 5-я и т.д.). Выражение во второй скобке — это сумма цифр, стоящих на чётных позициях.
Таким образом, мы доказали, что число $N$ делится на 11 тогда и только тогда, когда разность между суммой его цифр на нечётных местах и суммой его цифр на чётных местах делится на 11. Что и требовалось доказать.

Ответ: Признак делимости на 11: натуральное число делится на 11, если разность между суммой его цифр, стоящих на нечётных местах (считая справа), и суммой цифр, стоящих на чётных местах, делится на 11. Этот признак был строго доказан с использованием свойств сравнений по модулю.