Номер 1.99, страница 40 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.9*. Сравнения по модулю m. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.99, страница 40.

1.99 Докажите, что квадрат любого натурального числа либо делится на 9, либо при делении на 3 даёт остаток 1.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольное натуральное число $n$. Любое натуральное число при делении на 3 может иметь остаток 0, 1 или 2. Проанализируем квадрат этого числа для каждого из трех возможных случаев.

Случай 1: Число $n$ делится на 3.

В этом случае число $n$ можно представить как $n = 3k$, где $k$ – натуральное число. Возведем это выражение в квадрат: $n^2 = (3k)^2 = 9k^2$. Поскольку $k^2$ – целое число, произведение $9k^2$ очевидно делится на 9. В этом случае выполняется первое условие.

Случай 2: Число $n$ при делении на 3 дает остаток 1.

В этом случае число $n$ можно представить как $n = 3k + 1$, где $k$ – неотрицательное целое число. Возведем это выражение в квадрат, используя формулу квадрата суммы: $n^2 = (3k + 1)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 1 + 1^2 = 9k^2 + 6k + 1$. Сгруппируем слагаемые: $n^2 = 3(3k^2 + 2k) + 1$. Так как $3k^2 + 2k$ – целое число, мы видим, что $n^2$ при делении на 3 дает остаток 1. В этом случае выполняется второе условие.

Случай 3: Число $n$ при делении на 3 дает остаток 2.

В этом случае число $n$ можно представить как $n = 3k + 2$, где $k$ – неотрицательное целое число. Возведем это выражение в квадрат: $n^2 = (3k + 2)^2 = (3k)^2 + 2 \cdot 3k \cdot 2 + 2^2 = 9k^2 + 12k + 4$. Представим 4 как $3 + 1$ и сгруппируем слагаемые: $n^2 = 9k^2 + 12k + 3 + 1 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1$. Так как $3k^2 + 4k + 1$ – целое число, мы снова видим, что $n^2$ при делении на 3 дает остаток 1. В этом случае также выполняется второе условие.

Ответ: Мы рассмотрели все три возможных случая для любого натурального числа. Если число кратно 3, то его квадрат делится на 9. Если число не кратно 3, то его квадрат при делении на 3 дает остаток 1. Таким образом, утверждение полностью доказано.