Номер 1.101, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными - номер 1.101, страница 44.

Условие.

1.101 Подберите частное решение диофантова уравнения первой степени и запишите общее решение этого уравнения:

а) $x + y = 5$;

б) $8x - y = 15$;

в) $5x + 7y = 17$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x + y = 5$

Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$, где $a=1$, $b=1$ и $c=5$. Решение ищется в целых числах.

1. Подбор частного решения.

Необходимо найти любую пару целых чисел $(x_0, y_0)$, которая удовлетворяет уравнению. Такое решение легко подобрать. Например, пусть $x_0 = 1$. Подставив это значение в уравнение, получим $1 + y_0 = 5$, откуда $y_0 = 4$. Таким образом, пара $(1, 4)$ является частным решением.

2. Запись общего решения.

Общее решение линейного диофантова уравнения $ax + by = c$ находится по формулам:

$x = x_0 + \frac{b}{d}t$

$y = y_0 - \frac{a}{d}t$

где $(x_0, y_0)$ — частное решение, $d = \text{НОД}(a, b)$ (наибольший общий делитель коэффициентов $a$ и $b$), а $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Для нашего уравнения $a=1$, $b=1$, $d = \text{НОД}(1, 1) = 1$. Мы нашли частное решение $(x_0, y_0) = (1, 4)$. Подставляем эти значения в формулы:

$x = 1 + \frac{1}{1}t = 1 + t$

$y = 4 - \frac{1}{1}t = 4 - t$

Ответ: частное решение $(1, 4)$, общее решение: $x = 1 + t, y = 4 - t$, где $t \in \mathbb{Z}$.

б) $8x - y = 15$

Это уравнение можно представить в виде $8x + (-1)y = 15$. Здесь $a=8$, $b=-1$ и $c=15$.

1. Подбор частного решения.

Для удобства подбора выразим $y$ через $x$: $y = 8x - 15$. Теперь можно взять любое целое значение для $x_0$ и вычислить соответствующий $y_0$. Пусть $x_0 = 2$. Тогда $y_0 = 8(2) - 15 = 16 - 15 = 1$. Таким образом, пара $(2, 1)$ является частным решением. Проверка: $8(2) - 1 = 16 - 1 = 15$.

2. Запись общего решения.

Используем общие формулы. В данном случае $a=8$, $b=-1$, $d = \text{НОД}(8, -1) = 1$. Частное решение $(x_0, y_0) = (2, 1)$.

Подставляем значения в формулы:

$x = x_0 + \frac{b}{d}t = 2 + \frac{-1}{1}t = 2 - t$

$y = y_0 - \frac{a}{d}t = 1 - \frac{8}{1}t = 1 - 8t$

Ответ: частное решение $(2, 1)$, общее решение: $x = 2 - t, y = 1 - 8t$, где $t \in \mathbb{Z}$.

в) $5x + 7y = 17$

Это линейное диофантово уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=7$ и $c=17$. Поскольку наибольший общий делитель $\text{НОД}(5, 7) = 1$, а 1 делит 17, уравнение имеет решения в целых числах.

1. Подбор частного решения.

Найти частное решение можно подбором. Выразим одно из слагаемых: $5x = 17 - 7y$. Отсюда видно, что выражение $17 - 7y$ должно быть кратно 5. Будем перебирать целые значения $y$.

При $y=1$ получаем $17 - 7(1) = 10$. Тогда $5x = 10$, откуда $x = 2$.

Таким образом, мы нашли частное решение $(x_0, y_0) = (2, 1)$. Проверим: $5(2) + 7(1) = 10 + 7 = 17$. Равенство верно.

2. Запись общего решения.

Используем общие формулы с $a=5$, $b=7$, $d = \text{НОД}(5, 7) = 1$ и частным решением $(x_0, y_0) = (2, 1)$.

Подставляем значения в формулы:

$x = x_0 + \frac{b}{d}t = 2 + \frac{7}{1}t = 2 + 7t$

$y = y_0 - \frac{a}{d}t = 1 - \frac{5}{1}t = 1 - 5t$

Ответ: частное решение $(2, 1)$, общее решение: $x = 2 + 7t, y = 1 - 5t$, где $t \in \mathbb{Z}$.