Страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.101 Подберите частное решение диофантова уравнения первой степени и запишите общее решение этого уравнения:

а) $x + y = 5$;

б) $8x - y = 15$;

в) $5x + 7y = 17$.

а) $x + y = 5$

Это линейное диофантово уравнение вида $ax + by = c$, где $a=1$, $b=1$ и $c=5$. Решение ищется в целых числах.

1. Подбор частного решения.

Необходимо найти любую пару целых чисел $(x_0, y_0)$, которая удовлетворяет уравнению. Такое решение легко подобрать. Например, пусть $x_0 = 1$. Подставив это значение в уравнение, получим $1 + y_0 = 5$, откуда $y_0 = 4$. Таким образом, пара $(1, 4)$ является частным решением.

2. Запись общего решения.

Общее решение линейного диофантова уравнения $ax + by = c$ находится по формулам:

$x = x_0 + \frac{b}{d}t$

$y = y_0 - \frac{a}{d}t$

где $(x_0, y_0)$ — частное решение, $d = \text{НОД}(a, b)$ (наибольший общий делитель коэффициентов $a$ и $b$), а $t$ — любое целое число ($t \in \mathbb{Z}$).

Для нашего уравнения $a=1$, $b=1$, $d = \text{НОД}(1, 1) = 1$. Мы нашли частное решение $(x_0, y_0) = (1, 4)$. Подставляем эти значения в формулы:

$x = 1 + \frac{1}{1}t = 1 + t$

$y = 4 - \frac{1}{1}t = 4 - t$

Ответ: частное решение $(1, 4)$, общее решение: $x = 1 + t, y = 4 - t$, где $t \in \mathbb{Z}$.

б) $8x - y = 15$

Это уравнение можно представить в виде $8x + (-1)y = 15$. Здесь $a=8$, $b=-1$ и $c=15$.

1. Подбор частного решения.

Для удобства подбора выразим $y$ через $x$: $y = 8x - 15$. Теперь можно взять любое целое значение для $x_0$ и вычислить соответствующий $y_0$. Пусть $x_0 = 2$. Тогда $y_0 = 8(2) - 15 = 16 - 15 = 1$. Таким образом, пара $(2, 1)$ является частным решением. Проверка: $8(2) - 1 = 16 - 1 = 15$.

2. Запись общего решения.

Используем общие формулы. В данном случае $a=8$, $b=-1$, $d = \text{НОД}(8, -1) = 1$. Частное решение $(x_0, y_0) = (2, 1)$.

Подставляем значения в формулы:

$x = x_0 + \frac{b}{d}t = 2 + \frac{-1}{1}t = 2 - t$

$y = y_0 - \frac{a}{d}t = 1 - \frac{8}{1}t = 1 - 8t$

Ответ: частное решение $(2, 1)$, общее решение: $x = 2 - t, y = 1 - 8t$, где $t \in \mathbb{Z}$.

в) $5x + 7y = 17$

Это линейное диофантово уравнение с коэффициентами $a=5$, $b=7$ и $c=17$. Поскольку наибольший общий делитель $\text{НОД}(5, 7) = 1$, а 1 делит 17, уравнение имеет решения в целых числах.

1. Подбор частного решения.

Найти частное решение можно подбором. Выразим одно из слагаемых: $5x = 17 - 7y$. Отсюда видно, что выражение $17 - 7y$ должно быть кратно 5. Будем перебирать целые значения $y$.

При $y=1$ получаем $17 - 7(1) = 10$. Тогда $5x = 10$, откуда $x = 2$.

Таким образом, мы нашли частное решение $(x_0, y_0) = (2, 1)$. Проверим: $5(2) + 7(1) = 10 + 7 = 17$. Равенство верно.

2. Запись общего решения.

Используем общие формулы с $a=5$, $b=7$, $d = \text{НОД}(5, 7) = 1$ и частным решением $(x_0, y_0) = (2, 1)$.

Подставляем значения в формулы:

$x = x_0 + \frac{b}{d}t = 2 + \frac{7}{1}t = 2 + 7t$

$y = y_0 - \frac{a}{d}t = 1 - \frac{5}{1}t = 1 - 5t$

Ответ: частное решение $(2, 1)$, общее решение: $x = 2 + 7t, y = 1 - 5t$, где $t \in \mathbb{Z}$.

1.102 Объясните, почему не имеет решений в целых числах уравнение:

а) $3x + 12y = 5$;

б) $14x + 7y = 48$;

в) $2x + 10y = 27$.

Для объяснения, почему данные уравнения не имеют решений в целых числах, мы будем использовать основное свойство линейных диофантовых уравнений вида $ax + by = c$. Такое уравнение имеет решения в целых числах $(x, y)$ тогда и только тогда, когда правая часть $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$. Если это условие не выполняется, решений в целых числах нет.

а) $3x + 12y = 5$

Рассмотрим левую часть уравнения $3x + 12y$. Найдем наибольший общий делитель коэффициентов при переменных: НОД(3, 12) = 3. Вынесем этот общий множитель за скобки:
$3(x + 4y) = 5$
Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то их сумма и произведение также являются целыми числами. Значит, выражение в скобках $(x + 4y)$ — это целое число. Следовательно, вся левая часть уравнения $3(x + 4y)$ представляет собой число, которое делится на 3 без остатка.
Однако правая часть уравнения равна 5. Число 5 не делится на 3 ($5 \div 3 = 1$ с остатком 2).
Таким образом, мы получаем противоречие: левая часть уравнения при любых целых $x$ и $y$ должна быть кратна 3, а правая часть (5) на 3 не делится. Это означает, что равенство невозможно.
Ответ: Уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть ($3x+12y$) всегда делится на 3, а правая часть (5) на 3 не делится.

б) $14x + 7y = 48$

Аналогично рассмотрим левую часть уравнения $14x + 7y$. Наибольший общий делитель коэффициентов 14 и 7 равен НОД(14, 7) = 7. Вынесем 7 за скобки:
$7(2x + y) = 48$
Так как $x$ и $y$ — целые числа, выражение $(2x + y)$ также является целым числом. Это означает, что левая часть уравнения, $7(2x + y)$, всегда является числом, кратным 7.
Правая часть уравнения равна 48. Проверим, делится ли 48 на 7: $48 \div 7 = 6$ с остатком 6. Число 48 на 7 нацело не делится.
Следовательно, мы снова имеем противоречие: левая часть всегда кратна 7, а правая — нет. Равенство невозможно при целых $x$ и $y$.
Ответ: Уравнение не имеет решений в целых числах, потому что левая часть ($14x+7y$) всегда делится на 7, а правая часть (48) на 7 не делится.

в) $2x + 10y = 27$

Рассмотрим левую часть уравнения $2x + 10y$. Наибольший общий делитель коэффициентов 2 и 10 равен НОД(2, 10) = 2. Вынесем его за скобки:
$2(x + 5y) = 27$
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, выражение $(x + 5y)$ также является целым числом. Значит, левая часть уравнения, $2(x + 5y)$, всегда является произведением 2 и целого числа, то есть является четным числом.
Правая часть уравнения равна 27. Число 27 является нечетным.
Равенство между четным и нечетным числом невозможно. Следовательно, данное уравнение не может иметь решений в целых числах.
Ответ: Уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть ($2x+10y$) всегда является четным числом, а правая часть (27) — нечетным.

1.103 Задача Леонардо Пизанского (Фибоначчи, 1180—1240 гг.).

Некто купил 30 птиц за 30 монет, из числа этих птиц за каждых трёх воробьёв заплачена 1 монета, за каждые две горлицы — также 1 монета и, наконец, за каждого голубя — по 2 монеты. Сколько было птиц каждой породы?

Обозначим количество воробьёв как $x$, количество горлиц как $y$, и количество голубей как $z$.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений. Первое уравнение — общее количество птиц:

$x + y + z = 30$

Второе уравнение — общая стоимость птиц. Определим цену за одну птицу каждого вида:

• Цена воробья: 1 монета за 3 птицы, то есть $1/3$ монеты за штуку.
• Цена горлицы: 1 монета за 2 птицы, то есть $1/2$ монеты за штуку.
• Цена голубя: 2 монеты за штуку.

Общая стоимость составляет 30 монет:

$\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2z = 30$

Мы получили систему двух уравнений с тремя неизвестными. Решать её будем в целых неотрицательных числах, так как $x, y, z$ — это количество птиц.

$ \begin{cases} x + y + z = 30 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2z = 30 \end{cases} $

Умножим второе уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6 \cdot (\frac{x}{3} + \frac{y}{2} + 2z) = 6 \cdot 30$

$2x + 3y + 12z = 180$

Теперь система выглядит так:

$ \begin{cases} x + y + z = 30 \\ 2x + 3y + 12z = 180 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $x$: $x = 30 - y - z$.

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$2(30 - y - z) + 3y + 12z = 180$

$60 - 2y - 2z + 3y + 12z = 180$

Приведём подобные слагаемые:

$y + 10z + 60 = 180$

$y + 10z = 120$

Из этого уравнения выразим $y$ через $z$:

$y = 120 - 10z$

Теперь подставим это выражение для $y$ в формулу для $x = 30 - y - z$:

$x = 30 - (120 - 10z) - z$

$x = 30 - 120 + 10z - z$

$x = 9z - 90$

Поскольку $x, y, z$ должны быть неотрицательными целыми числами, получаем следующие неравенства:

$y \ge 0 \implies 120 - 10z \ge 0 \implies 120 \ge 10z \implies z \le 12$

$x \ge 0 \implies 9z - 90 \ge 0 \implies 9z \ge 90 \implies z \ge 10$

Таким образом, для количества голубей $z$ возможны только целые значения в диапазоне от 10 до 12. Рассмотрим все три варианта:

1. Если $z=10$:
   $x = 9(10) - 90 = 0$
   $y = 120 - 10(10) = 20$
   Получаем 0 воробьёв, 20 горлиц, 10 голубей.
2. Если $z=11$:
   $x = 9(11) - 90 = 9$
   $y = 120 - 10(11) = 10$
   Получаем 9 воробьёв, 10 горлиц, 11 голубей.
3. Если $z=12$:
   $x = 9(12) - 90 = 18$
   $y = 120 - 10(12) = 0$
   Получаем 18 воробьёв, 0 горлиц, 12 голубей.

Все три набора чисел являются математическими решениями задачи. Однако формулировка вопроса, перечисляющая все три вида птиц, как правило, подразумевает, что количество птиц каждого вида отлично от нуля. Этому условию ($x>0, y>0, z>0$) удовлетворяет только второй вариант.

Ответ: Было куплено 9 воробьёв, 10 горлиц и 11 голубей.

1.104 Из «Арифметики» Л. Ф. Магницкого (1703 г.).

Купил некто на 80 алтын гусей, утят и чирков. Гуся покупал по 2 алтына, утку по 1 алтыну, чирка же по 3 деньги, а всех куплено 80 птиц. Спрашивается, сколько каких птиц он купил.

($1 \text{ алтын} = 3 \text{ коп}$, $1 \text{ деньга} = 0,5 \text{ коп}$.)

Для решения этой старинной задачи сперва переведем все денежные единицы в одну — в копейки, используя указанные в условии соотношения: 1 алтын = 3 коп., 1 деньга = 0,5 коп.

Общая сумма покупки: $80 \text{ алтын} = 80 \cdot 3 = 240$ коп.

Цена одной птицы в копейках:

• Гусь: $2 \text{ алтына} = 2 \cdot 3 = 6$ коп.
• Утка: $1 \text{ алтын} = 1 \cdot 3 = 3$ коп.
• Чирок: $3 \text{ деньги} = 3 \cdot 0,5 = 1,5$ коп.

Обозначим количество гусей как g, количество уток как d и количество чирков как t. Согласно условию, всего было куплено 80 птиц, и на них было потрачено 240 копеек. Составим систему из двух уравнений с тремя неизвестными.

Первое уравнение (по общему количеству птиц):
$g + d + t = 80$

Второе уравнение (по общей стоимости):
$6g + 3d + 1,5t = 240$

Чтобы избавиться от дробного коэффициента, умножим второе уравнение на 2:
$12g + 6d + 3t = 480$

Теперь разделим все члены этого уравнения на 3, чтобы упростить его:
$4g + 2d + t = 160$

Итак, мы имеем систему линейных уравнений:
$\begin{cases} g + d + t = 80 & (1) \\ 4g + 2d + t = 160 & (2) \end{cases}$

Вычтем уравнение (1) из уравнения (2), чтобы исключить переменную t:
$(4g + 2d + t) - (g + d + t) = 160 - 80$
$3g + d = 80$

Отсюда мы можем выразить количество уток d через количество гусей g:
$d = 80 - 3g$

Теперь подставим полученное выражение для d в исходное уравнение (1), чтобы найти зависимость для t:
$g + (80 - 3g) + t = 80$
$80 - 2g + t = 80$
$t = 2g$

Мы получили выражения для количества уток и чирков через количество гусей. Поскольку количество птиц может быть только целым и положительным числом (так как в условии говорится о покупке всех трех видов птиц), мы имеем следующие ограничения:
$g > 0$
$d = 80 - 3g > 0 \implies 80 > 3g \implies g < \frac{80}{3} \implies g \le 26$
$t = 2g > 0 \implies g > 0$

Таким образом, количество гусей g может быть любым целым числом от 1 до 26. Это означает, что задача в ее современной математической постановке имеет 26 различных решений. Например, если $g=1$, то $d=77$ и $t=2$.

Однако старинные задачи такого типа часто подразумевали единственный, «красивый» ответ. Если предположить, что было куплено одинаковое количество гусей и уток ($g=d$), то мы можем найти единственное решение. Подставим $d=g$ в наше выражение $d = 80 - 3g$:
$g = 80 - 3g$
$4g = 80$
$g = 20$

Тогда количество уток $d$ также равно 20, а количество чирков $t$ равно:
$t = 2g = 2 \cdot 20 = 40$

Проверим это решение:
Общее количество птиц: $20 + 20 + 40 = 80$ птиц.
Общая стоимость: $20 \cdot 6 \text{ коп.} + 20 \cdot 3 \text{ коп.} + 40 \cdot 1,5 \text{ коп.} = 120 + 60 + 60 = 240$ коп.
240 копеек — это 80 алтын. Все условия задачи выполнены. Это решение является наиболее часто приводимым ответом для данной задачи из «Арифметики» Магницкого.

Ответ: было куплено 20 гусей, 20 уток и 40 чирков.

1.105 Найдите семь пифагоровых треугольников.

Пифагоров треугольник — это прямоугольный треугольник, у которого длины всех трёх сторон являются целыми числами. Эти три числа $(a, b, c)$, где $a$ и $b$ — катеты, а $c$ — гипотенуза, образуют так называемую пифагорову тройку и удовлетворяют теореме Пифагора:

$a^2 + b^2 = c^2$

Существует бесконечное множество таких треугольников. Все примитивные пифагоровы тройки (в которых числа $a, b, c$ взаимно просты) можно сгенерировать с помощью формулы Евклида. Для этого берутся два взаимно простых натуральных числа $m$ и $n$ ($m > n$), имеющие разную чётность. Стороны треугольника вычисляются по формулам:

$a = m^2 - n^2$

$b = 2mn$

$c = m^2 + n^2$

Ниже приведены семь примеров пифагоровых треугольников с проверкой.

1. Треугольник (3, 4, 5)

Это самая известная пифагорова тройка, также известная как "египетский треугольник". Она получается при $m=2$ и $n=1$.

Проверка:

$3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$

$5^2 = 25$

Так как $25 = 25$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (3, 4, 5).

2. Треугольник (5, 12, 13)

Эта тройка получается при $m=3$ и $n=2$.

Проверка:

$5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169$

$13^2 = 169$

Так как $169 = 169$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (5, 12, 13).

3. Треугольник (8, 15, 17)

Эта тройка получается при $m=4$ и $n=1$.

Проверка:

$8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$

$17^2 = 289$

Так как $289 = 289$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (8, 15, 17).

4. Треугольник (7, 24, 25)

Эта тройка получается при $m=4$ и $n=3$.

Проверка:

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$

$25^2 = 625$

Так как $625 = 625$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (7, 24, 25).

5. Треугольник (20, 21, 29)

Эта тройка получается при $m=5$ и $n=2$.

Проверка:

$20^2 + 21^2 = 400 + 441 = 841$

$29^2 = 841$

Так как $841 = 841$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (20, 21, 29).

6. Треугольник (9, 40, 41)

Эта тройка получается при $m=5$ и $n=4$.

Проверка:

$9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681$

$41^2 = 1681$

Так как $1681 = 1681$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (9, 40, 41).

7. Треугольник (12, 35, 37)

Эта тройка получается при $m=6$ и $n=1$.

Проверка:

$12^2 + 35^2 = 144 + 1225 = 1369$

$37^2 = 1369$

Так как $1369 = 1369$, треугольник является пифагоровым.

Ответ: (12, 35, 37).

Решите в целых числах уравнение (1.106—1.107):

1.106

а) $x(x+y)=7;$

б) $x(x-3y)=2;$

в) $(x+2y)(2x-y)=-2;$

г) $xy-2y+x=3;$

д) $4x^2-y^2=15;$

е) $9x^2+16y^2=25.$

а) $x(x + y) = 7$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x$ и $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7. Следовательно, они являются делителями числа 7. Делители числа 7: $\pm 1, \pm 7$. Рассмотрим все возможные случаи:

1. $\begin{cases} x = 1 \\ x + y = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ 1 + y = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = 6 \end{cases}$. Решение: $(1, 6)$.

2. $\begin{cases} x = 7 \\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 7 \\ 7 + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 7 \\ y = -6 \end{cases}$. Решение: $(7, -6)$.

3. $\begin{cases} x = -1 \\ x + y = -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ -1 + y = -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ y = -6 \end{cases}$. Решение: $(-1, -6)$.

4. $\begin{cases} x = -7 \\ x + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -7 \\ -7 + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -7 \\ y = 6 \end{cases}$. Решение: $(-7, 6)$.

Ответ: $(1, 6), (7, -6), (-1, -6), (-7, 6)$.

б) $x(x - 3y) = 2$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, множители $x$ и $(x - 3y)$ также должны быть целыми. Их произведение равно 2. Делители числа 2: $\pm 1, \pm 2$. Рассмотрим все возможные системы:

1. $\begin{cases} x = 1 \\ x - 3y = 2 \end{cases} \implies 1 - 3y = 2 \implies -3y = 1 \implies y = -1/3$. Не является целым числом.

2. $\begin{cases} x = 2 \\ x - 3y = 1 \end{cases} \implies 2 - 3y = 1 \implies -3y = -1 \implies y = 1/3$. Не является целым числом.

3. $\begin{cases} x = -1 \\ x - 3y = -2 \end{cases} \implies -1 - 3y = -2 \implies -3y = -1 \implies y = 1/3$. Не является целым числом.

4. $\begin{cases} x = -2 \\ x - 3y = -1 \end{cases} \implies -2 - 3y = -1 \implies -3y = 1 \implies y = -1/3$. Не является целым числом.

Ни в одном из случаев $y$ не является целым числом, следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

в) $(x + 2y)(2x - y) = -2$

Множители $(x + 2y)$ и $(2x - y)$ являются целыми числами, их произведение равно -2. Делители числа -2: $\pm 1, \pm 2$. Рассмотрим все комбинации:

1. $\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x - y = -2 \end{cases}$. Из второго уравнения выразим $y = 2x + 2$. Подставим в первое: $x + 2(2x + 2) = 1 \implies x + 4x + 4 = 1 \implies 5x = -3 \implies x = -3/5$. Не целое.

2. $\begin{cases} x + 2y = -1 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$. Из второго уравнения $y = 2x - 2$. Подставим в первое: $x + 2(2x - 2) = -1 \implies x + 4x - 4 = -1 \implies 5x = 3 \implies x = 3/5$. Не целое.

3. $\begin{cases} x + 2y = 2 \\ 2x - y = -1 \end{cases}$. Из второго уравнения $y = 2x + 1$. Подставим в первое: $x + 2(2x + 1) = 2 \implies x + 4x + 2 = 2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$. Тогда $y = 2(0) + 1 = 1$. Решение: $(0, 1)$.

4. $\begin{cases} x + 2y = -2 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$. Из второго уравнения $y = 2x - 1$. Подставим в первое: $x + 2(2x - 1) = -2 \implies x + 4x - 2 = -2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$. Тогда $y = 2(0) - 1 = -1$. Решение: $(0, -1)$.

Ответ: $(0, 1), (0, -1)$.

г) $xy - 2y + x = 3$

Преобразуем уравнение, чтобы разложить левую часть на множители. Для этого сгруппируем слагаемые:

$y(x - 2) + x = 3$

Чтобы выделить множитель $(x - 2)$, вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$y(x - 2) + x - 2 = 3 - 2$

$(x - 2)(y + 1) = 1$

Так как $x$ и $y$ целые, то $(x - 2)$ и $(y + 1)$ тоже целые. Их произведение равно 1. Возможны два случая:

1. $\begin{cases} x - 2 = 1 \\ y + 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = 0 \end{cases}$. Решение: $(3, 0)$.

2. $\begin{cases} x - 2 = -1 \\ y + 1 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \end{cases}$. Решение: $(1, -2)$.

Ответ: $(3, 0), (1, -2)$.

д) $4x^2 - y^2 = 15$

Используем формулу разности квадратов:

$(2x - y)(2x + y) = 15$

Множители $(2x - y)$ и $(2x + y)$ являются целыми числами, их произведение равно 15. Делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Обозначим $A = 2x - y$ и $B = 2x + y$. Тогда $A \cdot B = 15$. Сложив и вычтя эти равенства, получим: $A + B = 4x$ и $B - A = 2y$. Отсюда $x = (A+B)/4$ и $y = (B-A)/2$. Для целочисленности $x$ и $y$ необходимо, чтобы сумма $A+B$ была кратна 4, а разность $B-A$ была четной (что эквивалентно тому, что $A$ и $B$ имеют одинаковую четность, а так как их произведение 15 нечетно, то оба множителя должны быть нечетными, что выполняется для всех делителей 15). Рассмотрим все пары делителей:

1. $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 2x + y = 15 \end{cases} \implies 4x = 16, x = 4; \quad 2y = 14, y = 7$. Решение: $(4, 7)$.

2. $\begin{cases} 2x - y = 15 \\ 2x + y = 1 \end{cases} \implies 4x = 16, x = 4; \quad 2y = -14, y = -7$. Решение: $(4, -7)$.

3. $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \implies 4x = 8, x = 2; \quad 2y = 2, y = 1$. Решение: $(2, 1)$.

4. $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \implies 4x = 8, x = 2; \quad 2y = -2, y = -1$. Решение: $(2, -1)$.

5. $\begin{cases} 2x - y = -1 \\ 2x + y = -15 \end{cases} \implies 4x = -16, x = -4; \quad 2y = -14, y = -7$. Решение: $(-4, -7)$.

6. $\begin{cases} 2x - y = -15 \\ 2x + y = -1 \end{cases} \implies 4x = -16, x = -4; \quad 2y = 14, y = 7$. Решение: $(-4, 7)$.

7. $\begin{cases} 2x - y = -3 \\ 2x + y = -5 \end{cases} \implies 4x = -8, x = -2; \quad 2y = -2, y = -1$. Решение: $(-2, -1)$.

8. $\begin{cases} 2x - y = -5 \\ 2x + y = -3 \end{cases} \implies 4x = -8, x = -2; \quad 2y = 2, y = 1$. Решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(4, 7), (4, -7), (2, 1), (2, -1), (-4, -7), (-4, 7), (-2, -1), (-2, 1)$.

е) $9x^2 + 16y^2 = 25$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, $9x^2 \ge 0$ и $16y^2 \ge 0$.

Из уравнения следует, что $9x^2 \le 25$, значит $x^2 \le 25/9 \approx 2.77$. Поскольку $x^2$ — квадрат целого числа, возможные значения для $x^2$ это 0 и 1. Значит, $x$ может быть равен $0, 1, -1$.

Аналогично, $16y^2 \le 25$, значит $y^2 \le 25/16 = 1.5625$. Возможные значения для $y^2$ это 0 и 1. Значит, $y$ может быть равен $0, 1, -1$.

Проверим возможные значения:

1. Если $x = 0$, то $16y^2 = 25$, $y^2 = 25/16$, $y = \pm 5/4$. Не являются целыми числами.

2. Если $x = \pm 1$, то $x^2 = 1$. Уравнение принимает вид $9(1) + 16y^2 = 25 \implies 16y^2 = 16 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$. Это дает нам четыре решения: $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$.

3. Если $y = 0$, то $9x^2 = 25$, $x^2 = 25/9$, $x = \pm 5/3$. Не являются целыми числами.

4. Если $y = \pm 1$, то $y^2=1$. Уравнение $9x^2 + 16(1) = 25 \implies 9x^2 = 9 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Это те же четыре решения, что и в пункте 2.

Ответ: $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$.

1.107 а) $x^2 + y^2 - 2x + 4y = -3$;

Б) $4x^2 + y^2 - 4x + 6y = -5$;

В) $xy + 4x - 2y - 11 = 0$;

Г) $xy - 2x - 3y + 1 = 0$.

а) $x^2 + y^2 - 2x + 4y = -3$

Для решения данного уравнения в целых числах сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = -3$

Дополняем каждую группу до полного квадрата. Для первой группы нужно прибавить $(-2/2)^2 = 1$. Для второй группы нужно прибавить $(4/2)^2 = 4$. Чтобы уравнение осталось верным, эти же числа прибавляем и к правой части.

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -3 + 1 + 4$

Сворачиваем полные квадраты:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 1)$ и $(y + 2)$ также являются целыми числами. Сумма квадратов двух целых чисел равна 2. Это возможно только в том случае, если квадраты этих чисел равны 1.

$(x - 1)^2 = 1$ и $(y + 2)^2 = 1$

Отсюда получаем:

$x - 1 = \pm 1$ и $y + 2 = \pm 1$

Рассмотрим все возможные комбинации:

1. $x - 1 = 1 \implies x = 2$; $y + 2 = 1 \implies y = -1$. Решение: $(2, -1)$.

2. $x - 1 = 1 \implies x = 2$; $y + 2 = -1 \implies y = -3$. Решение: $(2, -3)$.

3. $x - 1 = -1 \implies x = 0$; $y + 2 = 1 \implies y = -1$. Решение: $(0, -1)$.

4. $x - 1 = -1 \implies x = 0$; $y + 2 = -1 \implies y = -3$. Решение: $(0, -3)$.

Ответ: $(2, -1)$, $(2, -3)$, $(0, -1)$, $(0, -3)$.

б) $4x^2 + y^2 - 4x + 6y = -5$

Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты.

$(4x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = -5$

Вынесем общий множитель в первой группе:

$4(x^2 - x) + (y^2 + 6y) = -5$

Дополняем до полных квадратов. Для первой группы нужно прибавить $(-1/2)^2 = 1/4$ внутри скобок, что равносильно прибавлению $4 \cdot (1/4) = 1$ к левой части. Для второй группы нужно прибавить $(6/2)^2 = 9$.

$4(x^2 - x + 1/4) + (y^2 + 6y + 9) = -5 + 1 + 9$

Сворачиваем квадраты:

$4(x - 1/2)^2 + (y + 3)^2 = 5$

Преобразуем первый член: $4(x - 1/2)^2 = (2(x - 1/2))^2 = (2x - 1)^2$.

$(2x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $(2x - 1)$ и $(y + 3)$ также являются целыми. Нам нужно найти два целых числа, сумма квадратов которых равна 5. Это возможно только если квадраты этих чисел равны 1 и 4.

Возможны два случая:

Случай 1: $(2x - 1)^2 = 1$ и $(y + 3)^2 = 4$.

Из $(2x - 1)^2 = 1$ следует $2x - 1 = \pm 1$.

Если $2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

Если $2x - 1 = -1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

Из $(y + 3)^2 = 4$ следует $y + 3 = \pm 2$.

Если $y + 3 = 2 \implies y = -1$.

Если $y + 3 = -2 \implies y = -5$.

Комбинируя решения для $x$ и $y$, получаем четыре пары: $(1, -1)$, $(1, -5)$, $(0, -1)$, $(0, -5)$.

Случай 2: $(2x - 1)^2 = 4$ и $(y + 3)^2 = 1$.

Из $(2x - 1)^2 = 4$ следует $2x - 1 = \pm 2$.

Если $2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = 3/2$, что не является целым числом.

Если $2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$, что также не является целым числом.

Таким образом, второй случай не дает целочисленных решений.

Ответ: $(1, -1)$, $(1, -5)$, $(0, -1)$, $(0, -5)$.

в) $xy + 4x - 2y - 11 = 0$

Для решения уравнений такого вида в целых числах используется метод разложения на множители. Перенесем свободный член вправо:

$xy + 4x - 2y = 11$

Сгруппируем слагаемые, чтобы вынести общие множители:

$x(y + 4) - 2y = 11$

Чтобы из $-2y$ получить выражение, содержащее $(y+4)$, вычтем и прибавим $8$:

$x(y + 4) - 2y - 8 + 8 = 11$

$x(y + 4) - 2(y + 4) = 11 - 8$

$(x - 2)(y + 4) = 3$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 2)$ и $(y + 4)$ — это целые делители числа 3. Делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все возможные пары делителей:

1. $x - 2 = 1$ и $y + 4 = 3$. Отсюда $x = 3, y = -1$. Решение: $(3, -1)$.

2. $x - 2 = 3$ и $y + 4 = 1$. Отсюда $x = 5, y = -3$. Решение: $(5, -3)$.

3. $x - 2 = -1$ и $y + 4 = -3$. Отсюда $x = 1, y = -7$. Решение: $(1, -7)$.

4. $x - 2 = -3$ и $y + 4 = -1$. Отсюда $x = -1, y = -5$. Решение: $(-1, -5)$.

Ответ: $(3, -1)$, $(5, -3)$, $(1, -7)$, $(-1, -5)$.

г) $xy - 2x - 3y + 1 = 0$

Используем метод разложения на множители, как в предыдущем пункте.

$xy - 2x - 3y = -1$

$x(y - 2) - 3y = -1$

Чтобы из $-3y$ получить выражение, содержащее $(y - 2)$, прибавим и вычтем 6:

$x(y - 2) - 3y + 6 - 6 = -1$

$x(y - 2) - 3(y - 2) = -1 + 6$

$(x - 3)(y - 2) = 5$

Множители $(x - 3)$ и $(y - 2)$ должны быть целыми делителями числа 5. Делителями числа 5 являются $1, -1, 5, -5$.

Рассмотрим все возможные пары делителей:

1. $x - 3 = 1$ и $y - 2 = 5$. Отсюда $x = 4, y = 7$. Решение: $(4, 7)$.

2. $x - 3 = 5$ и $y - 2 = 1$. Отсюда $x = 8, y = 3$. Решение: $(8, 3)$.

3. $x - 3 = -1$ и $y - 2 = -5$. Отсюда $x = 2, y = -3$. Решение: $(2, -3)$.

4. $x - 3 = -5$ и $y - 2 = -1$. Отсюда $x = -2, y = 1$. Решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(4, 7)$, $(8, 3)$, $(2, -3)$, $(-2, 1)$.

1.108 Решите уравнение:

a) $x^2 - 4x + y^2 + 4y + 8 = 0$;

б) $x^2 - 4x + y^2 + 4y + 9 = 0$.

а) $x^2 - 4x + y^2 + 4y + 8 = 0$

Для решения этого уравнения с двумя переменными применим метод выделения полного квадрата для каждой переменной. Этот метод позволяет преобразовать уравнение к виду, из которого легко найти решение.

Сначала сгруппируем слагаемые, содержащие $x$ и $y$:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 4y) + 8 = 0$

Теперь дополним каждую группу до полного квадрата. Для этого воспользуемся формулами квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ и квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Для выражения $x^2 - 4x$ не хватает слагаемого $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.

Для выражения $y^2 + 4y$ не хватает слагаемого $(\frac{4}{2})^2 = 2^2 = 4$.

Чтобы уравнение осталось верным, добавим и вычтем эти числа в левой части:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 8 = 0$

Теперь мы можем свернуть выражения в скобках в полные квадраты:

$(x-2)^2 + (y+2)^2 - 4 - 4 + 8 = 0$

Приведем подобные слагаемые (константы):

$(x-2)^2 + (y+2)^2 = 0$

Сумма двух квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен (больше или равен нулю).

Следовательно, мы получаем систему уравнений:

$\begin{cases} (x-2)^2 = 0 \\ (y+2)^2 = 0 \end{cases}$

Из этой системы находим значения $x$ и $y$:

$x - 2 = 0 \implies x = 2$

$y + 2 = 0 \implies y = -2$

Таким образом, уравнение имеет единственное решение.

Ответ: $x=2, y=-2$.

б) $x^2 - 4x + y^2 + 4y + 9 = 0$

Решим это уравнение аналогично предыдущему, используя метод выделения полного квадрата.

Сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$:

$(x^2 - 4x) + (y^2 + 4y) + 9 = 0$

Выделим полные квадраты. Как и в пункте а), для этого нужно добавить 4 к группе с $x$ и 4 к группе с $y$. Чтобы не изменить уравнение, эти же числа вычтем:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 9 = 0$

Свернем полные квадраты и упростим числовые слагаемые:

$(x-2)^2 + (y+2)^2 - 8 + 9 = 0$

$(x-2)^2 + (y+2)^2 + 1 = 0$

Перенесем свободный член в правую часть уравнения:

$(x-2)^2 + (y+2)^2 = -1$

Проанализируем полученное уравнение. В левой части стоит сумма двух квадратов. Для любых действительных чисел $x$ и $y$ выполняются неравенства $(x-2)^2 \ge 0$ и $(y+2)^2 \ge 0$. Следовательно, их сумма также всегда неотрицательна: $(x-2)^2 + (y+2)^2 \ge 0$.

В правой части уравнения стоит отрицательное число (-1). Неотрицательная величина не может быть равна отрицательной.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений в действительных числах.

Ответ: нет решений.