Номер 1.106, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 1. Действительные числа. 1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными - номер 1.106, страница 44.

Условие.

Решите в целых числах уравнение (1.106—1.107):

1.106

а) $x(x+y)=7;$

б) $x(x-3y)=2;$

в) $(x+2y)(2x-y)=-2;$

г) $xy-2y+x=3;$

д) $4x^2-y^2=15;$

е) $9x^2+16y^2=25.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

а) $x(x + y) = 7$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x$ и $(x + y)$ также являются целыми числами. Их произведение равно 7. Следовательно, они являются делителями числа 7. Делители числа 7: $\pm 1, \pm 7$. Рассмотрим все возможные случаи:

1. $\begin{cases} x = 1 \\ x + y = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ 1 + y = 7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = 6 \end{cases}$. Решение: $(1, 6)$.

2. $\begin{cases} x = 7 \\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 7 \\ 7 + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 7 \\ y = -6 \end{cases}$. Решение: $(7, -6)$.

3. $\begin{cases} x = -1 \\ x + y = -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ -1 + y = -7 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -1 \\ y = -6 \end{cases}$. Решение: $(-1, -6)$.

4. $\begin{cases} x = -7 \\ x + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -7 \\ -7 + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = -7 \\ y = 6 \end{cases}$. Решение: $(-7, 6)$.

Ответ: $(1, 6), (7, -6), (-1, -6), (-7, 6)$.

б) $x(x - 3y) = 2$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, множители $x$ и $(x - 3y)$ также должны быть целыми. Их произведение равно 2. Делители числа 2: $\pm 1, \pm 2$. Рассмотрим все возможные системы:

1. $\begin{cases} x = 1 \\ x - 3y = 2 \end{cases} \implies 1 - 3y = 2 \implies -3y = 1 \implies y = -1/3$. Не является целым числом.

2. $\begin{cases} x = 2 \\ x - 3y = 1 \end{cases} \implies 2 - 3y = 1 \implies -3y = -1 \implies y = 1/3$. Не является целым числом.

3. $\begin{cases} x = -1 \\ x - 3y = -2 \end{cases} \implies -1 - 3y = -2 \implies -3y = -1 \implies y = 1/3$. Не является целым числом.

4. $\begin{cases} x = -2 \\ x - 3y = -1 \end{cases} \implies -2 - 3y = -1 \implies -3y = 1 \implies y = -1/3$. Не является целым числом.

Ни в одном из случаев $y$ не является целым числом, следовательно, уравнение не имеет решений в целых числах.

Ответ: решений в целых числах нет.

в) $(x + 2y)(2x - y) = -2$

Множители $(x + 2y)$ и $(2x - y)$ являются целыми числами, их произведение равно -2. Делители числа -2: $\pm 1, \pm 2$. Рассмотрим все комбинации:

1. $\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2x - y = -2 \end{cases}$. Из второго уравнения выразим $y = 2x + 2$. Подставим в первое: $x + 2(2x + 2) = 1 \implies x + 4x + 4 = 1 \implies 5x = -3 \implies x = -3/5$. Не целое.

2. $\begin{cases} x + 2y = -1 \\ 2x - y = 2 \end{cases}$. Из второго уравнения $y = 2x - 2$. Подставим в первое: $x + 2(2x - 2) = -1 \implies x + 4x - 4 = -1 \implies 5x = 3 \implies x = 3/5$. Не целое.

3. $\begin{cases} x + 2y = 2 \\ 2x - y = -1 \end{cases}$. Из второго уравнения $y = 2x + 1$. Подставим в первое: $x + 2(2x + 1) = 2 \implies x + 4x + 2 = 2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$. Тогда $y = 2(0) + 1 = 1$. Решение: $(0, 1)$.

4. $\begin{cases} x + 2y = -2 \\ 2x - y = 1 \end{cases}$. Из второго уравнения $y = 2x - 1$. Подставим в первое: $x + 2(2x - 1) = -2 \implies x + 4x - 2 = -2 \implies 5x = 0 \implies x = 0$. Тогда $y = 2(0) - 1 = -1$. Решение: $(0, -1)$.

Ответ: $(0, 1), (0, -1)$.

г) $xy - 2y + x = 3$

Преобразуем уравнение, чтобы разложить левую часть на множители. Для этого сгруппируем слагаемые:

$y(x - 2) + x = 3$

Чтобы выделить множитель $(x - 2)$, вычтем 2 из обеих частей уравнения:

$y(x - 2) + x - 2 = 3 - 2$

$(x - 2)(y + 1) = 1$

Так как $x$ и $y$ целые, то $(x - 2)$ и $(y + 1)$ тоже целые. Их произведение равно 1. Возможны два случая:

1. $\begin{cases} x - 2 = 1 \\ y + 1 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 3 \\ y = 0 \end{cases}$. Решение: $(3, 0)$.

2. $\begin{cases} x - 2 = -1 \\ y + 1 = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 1 \\ y = -2 \end{cases}$. Решение: $(1, -2)$.

Ответ: $(3, 0), (1, -2)$.

д) $4x^2 - y^2 = 15$

Используем формулу разности квадратов:

$(2x - y)(2x + y) = 15$

Множители $(2x - y)$ и $(2x + y)$ являются целыми числами, их произведение равно 15. Делители числа 15: $\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$. Обозначим $A = 2x - y$ и $B = 2x + y$. Тогда $A \cdot B = 15$. Сложив и вычтя эти равенства, получим: $A + B = 4x$ и $B - A = 2y$. Отсюда $x = (A+B)/4$ и $y = (B-A)/2$. Для целочисленности $x$ и $y$ необходимо, чтобы сумма $A+B$ была кратна 4, а разность $B-A$ была четной (что эквивалентно тому, что $A$ и $B$ имеют одинаковую четность, а так как их произведение 15 нечетно, то оба множителя должны быть нечетными, что выполняется для всех делителей 15). Рассмотрим все пары делителей:

1. $\begin{cases} 2x - y = 1 \\ 2x + y = 15 \end{cases} \implies 4x = 16, x = 4; \quad 2y = 14, y = 7$. Решение: $(4, 7)$.

2. $\begin{cases} 2x - y = 15 \\ 2x + y = 1 \end{cases} \implies 4x = 16, x = 4; \quad 2y = -14, y = -7$. Решение: $(4, -7)$.

3. $\begin{cases} 2x - y = 3 \\ 2x + y = 5 \end{cases} \implies 4x = 8, x = 2; \quad 2y = 2, y = 1$. Решение: $(2, 1)$.

4. $\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 2x + y = 3 \end{cases} \implies 4x = 8, x = 2; \quad 2y = -2, y = -1$. Решение: $(2, -1)$.

5. $\begin{cases} 2x - y = -1 \\ 2x + y = -15 \end{cases} \implies 4x = -16, x = -4; \quad 2y = -14, y = -7$. Решение: $(-4, -7)$.

6. $\begin{cases} 2x - y = -15 \\ 2x + y = -1 \end{cases} \implies 4x = -16, x = -4; \quad 2y = 14, y = 7$. Решение: $(-4, 7)$.

7. $\begin{cases} 2x - y = -3 \\ 2x + y = -5 \end{cases} \implies 4x = -8, x = -2; \quad 2y = -2, y = -1$. Решение: $(-2, -1)$.

8. $\begin{cases} 2x - y = -5 \\ 2x + y = -3 \end{cases} \implies 4x = -8, x = -2; \quad 2y = 2, y = 1$. Решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(4, 7), (4, -7), (2, 1), (2, -1), (-4, -7), (-4, 7), (-2, -1), (-2, 1)$.

е) $9x^2 + 16y^2 = 25$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$. Следовательно, $9x^2 \ge 0$ и $16y^2 \ge 0$.

Из уравнения следует, что $9x^2 \le 25$, значит $x^2 \le 25/9 \approx 2.77$. Поскольку $x^2$ — квадрат целого числа, возможные значения для $x^2$ это 0 и 1. Значит, $x$ может быть равен $0, 1, -1$.

Аналогично, $16y^2 \le 25$, значит $y^2 \le 25/16 = 1.5625$. Возможные значения для $y^2$ это 0 и 1. Значит, $y$ может быть равен $0, 1, -1$.

Проверим возможные значения:

1. Если $x = 0$, то $16y^2 = 25$, $y^2 = 25/16$, $y = \pm 5/4$. Не являются целыми числами.

2. Если $x = \pm 1$, то $x^2 = 1$. Уравнение принимает вид $9(1) + 16y^2 = 25 \implies 16y^2 = 16 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1$. Это дает нам четыре решения: $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$.

3. Если $y = 0$, то $9x^2 = 25$, $x^2 = 25/9$, $x = \pm 5/3$. Не являются целыми числами.

4. Если $y = \pm 1$, то $y^2=1$. Уравнение $9x^2 + 16(1) = 25 \implies 9x^2 = 9 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. Это те же четыре решения, что и в пункте 2.

Ответ: $(1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1)$.