Номер 1.102, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.102, страница 44.

1.102 Объясните, почему не имеет решений в целых числах уравнение:

а) $3x + 12y = 5$;

б) $14x + 7y = 48$;

в) $2x + 10y = 27$.

Для объяснения, почему данные уравнения не имеют решений в целых числах, мы будем использовать основное свойство линейных диофантовых уравнений вида $ax + by = c$. Такое уравнение имеет решения в целых числах $(x, y)$ тогда и только тогда, когда правая часть $c$ делится нацело на наибольший общий делитель (НОД) коэффициентов $a$ и $b$. Если это условие не выполняется, решений в целых числах нет.

а) $3x + 12y = 5$

Рассмотрим левую часть уравнения $3x + 12y$. Найдем наибольший общий делитель коэффициентов при переменных: НОД(3, 12) = 3. Вынесем этот общий множитель за скобки:
$3(x + 4y) = 5$
Поскольку $x$ и $y$ по условию являются целыми числами, то их сумма и произведение также являются целыми числами. Значит, выражение в скобках $(x + 4y)$ — это целое число. Следовательно, вся левая часть уравнения $3(x + 4y)$ представляет собой число, которое делится на 3 без остатка.
Однако правая часть уравнения равна 5. Число 5 не делится на 3 ($5 \div 3 = 1$ с остатком 2).
Таким образом, мы получаем противоречие: левая часть уравнения при любых целых $x$ и $y$ должна быть кратна 3, а правая часть (5) на 3 не делится. Это означает, что равенство невозможно.
Ответ: Уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть ($3x+12y$) всегда делится на 3, а правая часть (5) на 3 не делится.

б) $14x + 7y = 48$

Аналогично рассмотрим левую часть уравнения $14x + 7y$. Наибольший общий делитель коэффициентов 14 и 7 равен НОД(14, 7) = 7. Вынесем 7 за скобки:
$7(2x + y) = 48$
Так как $x$ и $y$ — целые числа, выражение $(2x + y)$ также является целым числом. Это означает, что левая часть уравнения, $7(2x + y)$, всегда является числом, кратным 7.
Правая часть уравнения равна 48. Проверим, делится ли 48 на 7: $48 \div 7 = 6$ с остатком 6. Число 48 на 7 нацело не делится.
Следовательно, мы снова имеем противоречие: левая часть всегда кратна 7, а правая — нет. Равенство невозможно при целых $x$ и $y$.
Ответ: Уравнение не имеет решений в целых числах, потому что левая часть ($14x+7y$) всегда делится на 7, а правая часть (48) на 7 не делится.

в) $2x + 10y = 27$

Рассмотрим левую часть уравнения $2x + 10y$. Наибольший общий делитель коэффициентов 2 и 10 равен НОД(2, 10) = 2. Вынесем его за скобки:
$2(x + 5y) = 27$
Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, выражение $(x + 5y)$ также является целым числом. Значит, левая часть уравнения, $2(x + 5y)$, всегда является произведением 2 и целого числа, то есть является четным числом.
Правая часть уравнения равна 27. Число 27 является нечетным.
Равенство между четным и нечетным числом невозможно. Следовательно, данное уравнение не может иметь решений в целых числах.
Ответ: Уравнение не имеет решений в целых числах, так как левая часть ($2x+10y$) всегда является четным числом, а правая часть (27) — нечетным.