Номер 1.107, страница 44 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

1.10*. Задачи с целочисленными неизвестными. § 1. Действительные числа. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 1.107, страница 44.

1.107 а) $x^2 + y^2 - 2x + 4y = -3$;

Б) $4x^2 + y^2 - 4x + 6y = -5$;

В) $xy + 4x - 2y - 11 = 0$;

Г) $xy - 2x - 3y + 1 = 0$.

а) $x^2 + y^2 - 2x + 4y = -3$

Для решения данного уравнения в целых числах сгруппируем слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим полные квадраты.

$(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) = -3$

Дополняем каждую группу до полного квадрата. Для первой группы нужно прибавить $(-2/2)^2 = 1$. Для второй группы нужно прибавить $(4/2)^2 = 4$. Чтобы уравнение осталось верным, эти же числа прибавляем и к правой части.

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) = -3 + 1 + 4$

Сворачиваем полные квадраты:

$(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 2$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то выражения $(x - 1)$ и $(y + 2)$ также являются целыми числами. Сумма квадратов двух целых чисел равна 2. Это возможно только в том случае, если квадраты этих чисел равны 1.

$(x - 1)^2 = 1$ и $(y + 2)^2 = 1$

Отсюда получаем:

$x - 1 = \pm 1$ и $y + 2 = \pm 1$

Рассмотрим все возможные комбинации:

1. $x - 1 = 1 \implies x = 2$; $y + 2 = 1 \implies y = -1$. Решение: $(2, -1)$.

2. $x - 1 = 1 \implies x = 2$; $y + 2 = -1 \implies y = -3$. Решение: $(2, -3)$.

3. $x - 1 = -1 \implies x = 0$; $y + 2 = 1 \implies y = -1$. Решение: $(0, -1)$.

4. $x - 1 = -1 \implies x = 0$; $y + 2 = -1 \implies y = -3$. Решение: $(0, -3)$.

Ответ: $(2, -1)$, $(2, -3)$, $(0, -1)$, $(0, -3)$.

б) $4x^2 + y^2 - 4x + 6y = -5$

Аналогично предыдущему пункту, сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты.

$(4x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = -5$

Вынесем общий множитель в первой группе:

$4(x^2 - x) + (y^2 + 6y) = -5$

Дополняем до полных квадратов. Для первой группы нужно прибавить $(-1/2)^2 = 1/4$ внутри скобок, что равносильно прибавлению $4 \cdot (1/4) = 1$ к левой части. Для второй группы нужно прибавить $(6/2)^2 = 9$.

$4(x^2 - x + 1/4) + (y^2 + 6y + 9) = -5 + 1 + 9$

Сворачиваем квадраты:

$4(x - 1/2)^2 + (y + 3)^2 = 5$

Преобразуем первый член: $4(x - 1/2)^2 = (2(x - 1/2))^2 = (2x - 1)^2$.

$(2x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 5$

Так как $x$ и $y$ — целые числа, то $(2x - 1)$ и $(y + 3)$ также являются целыми. Нам нужно найти два целых числа, сумма квадратов которых равна 5. Это возможно только если квадраты этих чисел равны 1 и 4.

Возможны два случая:

Случай 1: $(2x - 1)^2 = 1$ и $(y + 3)^2 = 4$.

Из $(2x - 1)^2 = 1$ следует $2x - 1 = \pm 1$.

Если $2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

Если $2x - 1 = -1 \implies 2x = 0 \implies x = 0$.

Из $(y + 3)^2 = 4$ следует $y + 3 = \pm 2$.

Если $y + 3 = 2 \implies y = -1$.

Если $y + 3 = -2 \implies y = -5$.

Комбинируя решения для $x$ и $y$, получаем четыре пары: $(1, -1)$, $(1, -5)$, $(0, -1)$, $(0, -5)$.

Случай 2: $(2x - 1)^2 = 4$ и $(y + 3)^2 = 1$.

Из $(2x - 1)^2 = 4$ следует $2x - 1 = \pm 2$.

Если $2x - 1 = 2 \implies 2x = 3 \implies x = 3/2$, что не является целым числом.

Если $2x - 1 = -2 \implies 2x = -1 \implies x = -1/2$, что также не является целым числом.

Таким образом, второй случай не дает целочисленных решений.

Ответ: $(1, -1)$, $(1, -5)$, $(0, -1)$, $(0, -5)$.

в) $xy + 4x - 2y - 11 = 0$

Для решения уравнений такого вида в целых числах используется метод разложения на множители. Перенесем свободный член вправо:

$xy + 4x - 2y = 11$

Сгруппируем слагаемые, чтобы вынести общие множители:

$x(y + 4) - 2y = 11$

Чтобы из $-2y$ получить выражение, содержащее $(y+4)$, вычтем и прибавим $8$:

$x(y + 4) - 2y - 8 + 8 = 11$

$x(y + 4) - 2(y + 4) = 11 - 8$

$(x - 2)(y + 4) = 3$

Поскольку $x$ и $y$ — целые числа, то $(x - 2)$ и $(y + 4)$ — это целые делители числа 3. Делителями числа 3 являются $1, -1, 3, -3$.

Рассмотрим все возможные пары делителей:

1. $x - 2 = 1$ и $y + 4 = 3$. Отсюда $x = 3, y = -1$. Решение: $(3, -1)$.

2. $x - 2 = 3$ и $y + 4 = 1$. Отсюда $x = 5, y = -3$. Решение: $(5, -3)$.

3. $x - 2 = -1$ и $y + 4 = -3$. Отсюда $x = 1, y = -7$. Решение: $(1, -7)$.

4. $x - 2 = -3$ и $y + 4 = -1$. Отсюда $x = -1, y = -5$. Решение: $(-1, -5)$.

Ответ: $(3, -1)$, $(5, -3)$, $(1, -7)$, $(-1, -5)$.

г) $xy - 2x - 3y + 1 = 0$

Используем метод разложения на множители, как в предыдущем пункте.

$xy - 2x - 3y = -1$

$x(y - 2) - 3y = -1$

Чтобы из $-3y$ получить выражение, содержащее $(y - 2)$, прибавим и вычтем 6:

$x(y - 2) - 3y + 6 - 6 = -1$

$x(y - 2) - 3(y - 2) = -1 + 6$

$(x - 3)(y - 2) = 5$

Множители $(x - 3)$ и $(y - 2)$ должны быть целыми делителями числа 5. Делителями числа 5 являются $1, -1, 5, -5$.

Рассмотрим все возможные пары делителей:

1. $x - 3 = 1$ и $y - 2 = 5$. Отсюда $x = 4, y = 7$. Решение: $(4, 7)$.

2. $x - 3 = 5$ и $y - 2 = 1$. Отсюда $x = 8, y = 3$. Решение: $(8, 3)$.

3. $x - 3 = -1$ и $y - 2 = -5$. Отсюда $x = 2, y = -3$. Решение: $(2, -3)$.

4. $x - 3 = -5$ и $y - 2 = -1$. Отсюда $x = -2, y = 1$. Решение: $(-2, 1)$.

Ответ: $(4, 7)$, $(8, 3)$, $(2, -3)$, $(-2, 1)$.