Номер 2.2, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.2, страница 47.

2.2 Докажите справедливость следующих формул сокращённого умножения:

a) $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$;

б) $a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$;

в) $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$.

а) Для доказательства справедливости формулы преобразуем её левую часть. Раскроем скобки, рассмотрев выражение $(a+b+c)^2$ как произведение двух одинаковых многочленов $(a+b+c)(a+b+c)$ и выполнив умножение каждого члена первого многочлена на каждый член второго:
$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a \cdot (a+b+c) + b \cdot (a+b+c) + c \cdot (a+b+c)$
$= (a^2 + ab + ac) + (ba + b^2 + bc) + (ca + cb + c^2)$
Сгруппируем подобные слагаемые, учитывая, что $ab=ba$, $ac=ca$ и $bc=cb$:
$= a^2 + b^2 + c^2 + (ab+ba) + (ac+ca) + (bc+cb)$
$= a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$
Полученное выражение в точности совпадает с правой частью исходной формулы, что и доказывает её справедливость.
Ответ: Тождество $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc$ доказано.

б) Для доказательства преобразуем правую часть равенства. Раскроем скобки, умножив многочлен $(a-b)$ на многочлен $(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$:
$(a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) = a(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3) - b(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$
Выполним умножение и получим:
$= (a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3) - (a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$= a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 - a^3b - a^2b^2 - ab^3 - b^4$
Промежуточные члены взаимно уничтожаются:
$= a^4 + (a^3b - a^3b) + (a^2b^2 - a^2b^2) + (ab^3 - ab^3) - b^4 = a^4 - b^4$
Полученное выражение совпадает с левой частью исходной формулы.
Ответ: Тождество $a^4 - b^4 = (a - b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$ доказано.

в) Доказательство проводится аналогично предыдущему пункту путем преобразования правой части равенства. Раскроем скобки, перемножив многочлены $(a-b)$ и $(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$:
$(a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) = a(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) - b(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$
Выполним умножение:
$= (a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4) - (a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 + b^5)$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$= a^5 + a^4b + a^3b^2 + a^2b^3 + ab^4 - a^4b - a^3b^2 - a^2b^3 - ab^4 - b^5$
После сокращения всех промежуточных членов получаем:
$= a^5 - b^5$
Полученное выражение совпадает с левой частью исходной формулы. Данная формула является частным случаем общей формулы разности n-ых степеней: $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+...+b^{n-1})$.
Ответ: Тождество $a^5 - b^5 = (a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4)$ доказано.