Номер 2.7, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.7, страница 47.

2.7 a) $\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3};$

Б) $\frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} - \frac{1}{2(m + n)};$

В) $\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} + \frac{1}{2y - x};$

Г) $\frac{2(p + q)}{p^3 - q^3} + \frac{2}{q^2 - p^2};$

a)

Рассмотрим выражение $\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3}$.

Знаменатель второй дроби представляет собой формулу разности кубов: $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

Заметим, что знаменатель первой дроби является множителем в разложении знаменателя второй дроби. Таким образом, общим знаменателем является выражение $a^3 - b^3$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(a - b)$:

$\frac{1}{a^2 + ab + b^2} + \frac{b}{a^3 - b^3} = \frac{1 \cdot (a - b)}{(a^2 + ab + b^2) \cdot (a - b)} + \frac{b}{a^3 - b^3} = \frac{a - b}{a^3 - b^3} + \frac{b}{a^3 - b^3}$.

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$\frac{(a - b) + b}{a^3 - b^3} = \frac{a}{a^3 - b^3}$.

Ответ: $\frac{a}{a^3 - b^3}$

б)

Рассмотрим выражение $\frac{m^2 + n^2}{m^3 + n^3} - \frac{1}{2(m + n)}$.

Разложим знаменатель первой дроби по формуле суммы кубов: $m^3 + n^3 = (m + n)(m^2 - mn + n^2)$.

Выражение примет вид: $\frac{m^2 + n^2}{(m + n)(m^2 - mn + n^2)} - \frac{1}{2(m + n)}$.

Наименьший общий знаменатель для этих дробей равен $2(m + n)(m^2 - mn + n^2)$, что равно $2(m^3 + n^3)$.

Приведем дроби к общему знаменателю. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на $2$, а второй — на $(m^2 - mn + n^2)$:

$\frac{2(m^2 + n^2)}{2(m^3 + n^3)} - \frac{1 \cdot (m^2 - mn + n^2)}{2(m + n)(m^2 - mn + n^2)} = \frac{2m^2 + 2n^2}{2(m^3 + n^3)} - \frac{m^2 - mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{(2m^2 + 2n^2) - (m^2 - mn + n^2)}{2(m^3 + n^3)} = \frac{2m^2 + 2n^2 - m^2 + mn - n^2}{2(m^3 + n^3)} = \frac{m^2 + mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$.

Ответ: $\frac{m^2 + mn + n^2}{2(m^3 + n^3)}$

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} + \frac{1}{2y - x}$.

Преобразуем знаменатель второй дроби: $2y - x = -(x - 2y)$. Тогда всю дробь можно записать так: $\frac{1}{-(x - 2y)} = -\frac{1}{x - 2y}$.

Выражение примет вид: $\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} - \frac{1}{x - 2y}$.

Общим знаменателем является $(x - 2y)^3$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на $(x - 2y)^2$:

$\frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} - \frac{1 \cdot (x - 2y)^2}{(x - 2y) \cdot (x - 2y)^2} = \frac{x^2 - 2xy}{(x - 2y)^3} - \frac{(x - 2y)^2}{(x - 2y)^3}$.

Выполним вычитание, раскрыв скобки в числителе:

$\frac{(x^2 - 2xy) - (x^2 - 4xy + 4y^2)}{(x - 2y)^3} = \frac{x^2 - 2xy - x^2 + 4xy - 4y^2}{(x - 2y)^3} = \frac{2xy - 4y^2}{(x - 2y)^3}$.

Вынесем общий множитель $2y$ в числителе:

$\frac{2y(x - 2y)}{(x - 2y)^3}$.

Сократим дробь на $(x - 2y)$:

$\frac{2y}{(x - 2y)^2}$.

Ответ: $\frac{2y}{(x - 2y)^2}$

г)

Рассмотрим выражение $\frac{2(p + q)}{p^3 - q^3} + \frac{2}{q^2 - p^2}$.

Разложим знаменатели на множители, используя формулы разности кубов и разности квадратов:

$p^3 - q^3 = (p - q)(p^2 + pq + q^2)$

$q^2 - p^2 = -(p^2 - q^2) = -(p - q)(p + q)$

Подставим разложения в исходное выражение, изменив знак второй дроби:

$\frac{2(p + q)}{(p - q)(p^2 + pq + q^2)} - \frac{2}{(p - q)(p + q)}$.

Наименьший общий знаменатель равен $(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)$. Приведем дроби к нему:

$\frac{2(p + q)(p + q)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)} - \frac{2(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$.

Выполним вычитание дробей:

$\frac{2(p + q)^2 - 2(p^2 + pq + q^2)}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$.

Упростим числитель:

$2(p^2 + 2pq + q^2) - 2(p^2 + pq + q^2) = 2p^2 + 4pq + 2q^2 - 2p^2 - 2pq - 2q^2 = 2pq$.

Итоговое выражение:

$\frac{2pq}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$.

Ответ: $\frac{2pq}{(p - q)(p + q)(p^2 + pq + q^2)}$