Номер 2.12, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.12, страница 48.

2.12* Уравнение:

a) $x^2 + y^2 - 6x - 6y = 7$ имеет решение (6; 7);

б) $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$ имеет решение (3; 2).

Укажите ещё одно решение этого уравнения.

а)

Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 - 6x - 6y = 7$.

Можно заметить, что это уравнение симметрично относительно переменных $x$ и $y$. Это означает, что если мы поменяем местами $x$ и $y$, уравнение не изменится: $y^2 + x^2 - 6y - 6x = 7$. Из этого свойства следует, что если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением уравнения, то и пара $(y_0; x_0)$ также будет его решением.

По условию, пара $(6; 7)$ является решением этого уравнения. Проверим это, подставив $x=6$ и $y=7$ в уравнение:

$6^2 + 7^2 - 6 \cdot 6 - 6 \cdot 7 = 36 + 49 - 36 - 42 = 49 - 42 = 7$.

Так как $7 = 7$, равенство верное.

Следовательно, симметричная пара $(7; 6)$ также должна быть решением. Проверим это, подставив $x=7$ и $y=6$ в исходное уравнение:

$7^2 + 6^2 - 6 \cdot 7 - 6 \cdot 6 = 49 + 36 - 42 - 36 = 7$.

Так как $7 = 7$, равенство верное.

Таким образом, мы нашли еще одно решение.

Геометрически данное уравнение является уравнением окружности. Выделив полные квадраты, получим:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 - 6y + 9) = 7 + 9 + 9$

$(x-3)^2 + (y-3)^2 = 25$

Это окружность с центром в точке $(3; 3)$ и радиусом $5$. Так как центр окружности лежит на прямой $y=x$, окружность симметрична относительно этой прямой. Точка $(7; 6)$ симметрична точке $(6; 7)$ относительно прямой $y=x$, а значит, тоже лежит на этой окружности.

Ответ: $(7; 6)$.

б)

Рассмотрим уравнение $x^2 + y^2 - 2x - 2y - 3 = 0$.

Это уравнение, как и предыдущее, симметрично относительно переменных $x$ и $y$. Если поменять $x$ и $y$ местами, уравнение останется прежним: $y^2 + x^2 - 2y - 2x - 3 = 0$. Поэтому, если пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением, то и пара $(y_0; x_0)$ также является решением.

По условию, $(3; 2)$ является решением. Проверим:

$3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 - 2 \cdot 2 - 3 = 9 + 4 - 6 - 4 - 3 = 13 - 13 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Значит, симметричная пара $(2; 3)$ также будет решением. Проверим подстановкой $x=2$ и $y=3$:

$2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 - 2 \cdot 3 - 3 = 4 + 9 - 4 - 6 - 3 = 13 - 13 = 0$.

Так как $0 = 0$, равенство верное.

Геометрическая интерпретация также помогает понять решение. Преобразуем уравнение к каноническому виду уравнения окружности:

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) - 3 - 1 - 1 = 0$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 5$

Это окружность с центром в точке $(1; 1)$ и радиусом $\sqrt{5}$. Центр окружности находится на прямой $y=x$, что означает симметрию окружности относительно этой прямой. Точка $(2; 3)$ симметрична точке $(3; 2)$ относительно прямой $y=x$ и, следовательно, также принадлежит окружности.

Ответ: $(2; 3)$.