Номер 2.10, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.10, страница 48.

2.10* Из сборника задач П. А. Ларичева.

а) Упростите выражение

$\left( \frac{a}{a - 2b} + \frac{b}{a + 2b} \right) \cdot \frac{a^3 + 8b^3}{a^3 + 3a^2b - 2ab^2}$

и найдите его значение при $a = 0,5$, $b = -1$.

б) Упростите выражение

$\frac{a + 2b}{3a - 3b} - \frac{3c - a}{2a - 2c} + \frac{a^2 - bc}{a^2 - ac + bc - ab}$

и найдите его значение при $a = \frac{1}{6}$, $b = -1$.

а) Сначала упростим выражение. Первым шагом приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(a - 2b)(a + 2b) = a^2 - 4b^2$.
$\frac{a}{a - 2b} + \frac{b}{a + 2b} = \frac{a(a + 2b) + b(a - 2b)}{(a - 2b)(a + 2b)} = \frac{a^2 + 2ab + ab - 2b^2}{a^2 - 4b^2} = \frac{a^2 + 3ab - 2b^2}{a^2 - 4b^2}$.

Теперь рассмотрим вторую дробь. Разложим ее числитель и знаменатель на множители. Числитель — это сумма кубов, а в знаменателе вынесем общий множитель $a$.
$a^3 + 8b^3 = a^3 + (2b)^3 = (a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)$.
$a^3 + 3a^2b - 2ab^2 = a(a^2 + 3ab - 2b^2)$.

Теперь перемножим полученные выражения:
$\left(\frac{a^2 + 3ab - 2b^2}{a^2 - 4b^2}\right) \cdot \frac{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{a(a^2 + 3ab - 2b^2)} = \frac{a^2 + 3ab - 2b^2}{(a - 2b)(a + 2b)} \cdot \frac{(a + 2b)(a^2 - 2ab + 4b^2)}{a(a^2 + 3ab - 2b^2)}$.

Сократим одинаковые множители $(a^2 + 3ab - 2b^2)$ и $(a + 2b)$ в числителе и знаменателе:
$\frac{1}{a - 2b} \cdot \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{a} = \frac{a^2 - 2ab + 4b^2}{a(a - 2b)}$.

Теперь найдем значение упрощенного выражения при $a = 0,5$ и $b = -1$.
$\frac{(0,5)^2 - 2(0,5)(-1) + 4(-1)^2}{0,5(0,5 - 2(-1))} = \frac{0,25 - (-1) + 4(1)}{0,5(0,5 + 2)} = \frac{0,25 + 1 + 4}{0,5(2,5)} = \frac{5,25}{1,25}$.

Чтобы избавиться от десятичных дробей, умножим числитель и знаменатель на 100:
$\frac{525}{125} = \frac{21 \cdot 25}{5 \cdot 25} = \frac{21}{5} = 4,2$.
Ответ: $4,2$.

б) Сначала упростим выражение. Для этого разложим знаменатели всех дробей на множители.
$3a - 3b = 3(a - b)$.
$2a - 2c = 2(a - c)$.
$a^2 - ac + bc - ab = (a^2 - ab) - (ac - bc) = a(a - b) - c(a - b) = (a - b)(a - c)$.

Перепишем выражение с разложенными знаменателями:
$\frac{a + 2b}{3(a - b)} - \frac{3c - a}{2(a - c)} + \frac{a^2 - bc}{(a - b)(a - c)}$.

Приведем все дроби к общему знаменателю $6(a - b)(a - c)$:
$\frac{2(a - c)(a + 2b)}{6(a - b)(a - c)} - \frac{3(a - b)(3c - a)}{6(a - b)(a - c)} + \frac{6(a^2 - bc)}{6(a - b)(a - c)}$.

Запишем все под одной чертой и раскроем скобки в числителе:
$\frac{2(a^2 + 2ab - ac - 2bc) - 3(3ac - a^2 - 3bc + ab) + 6(a^2 - bc)}{6(a - b)(a - c)} = $
$\frac{2a^2 + 4ab - 2ac - 4bc - 9ac + 3a^2 + 9bc - 3ab + 6a^2 - 6bc}{6(a - b)(a - c)}$.

Приведем подобные слагаемые в числителе:
$(2a^2 + 3a^2 + 6a^2) + (4ab - 3ab) + (-2ac - 9ac) + (-4bc + 9bc - 6bc) = 11a^2 + ab - 11ac - bc$.

Сгруппируем и вынесем общие множители в числителе:
$(11a^2 - 11ac) + (ab - bc) = 11a(a - c) + b(a - c) = (11a + b)(a - c)$.

Подставим упрощенный числитель обратно в дробь и сократим:
$\frac{(11a + b)(a - c)}{6(a - b)(a - c)} = \frac{11a + b}{6(a - b)}$.

Теперь найдем значение выражения при $a = \frac{1}{6}$ и $b = -1$.
$\frac{11(\frac{1}{6}) + (-1)}{6(\frac{1}{6} - (-1))} = \frac{\frac{11}{6} - 1}{6(\frac{1}{6} + 1)} = \frac{\frac{11}{6} - \frac{6}{6}}{6(\frac{1}{6} + \frac{6}{6})} = \frac{\frac{5}{6}}{6(\frac{7}{6})} = \frac{\frac{5}{6}}{7} = \frac{5}{6 \cdot 7} = \frac{5}{42}$.
Ответ: $\frac{5}{42}$.