Номер 2.13, страница 48 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Глава I. Корни, степени, логарифмы. Параграф 2. Рациональные уравнения и неравенства. 2.1. Рациональные выражения - номер 2.13, страница 48.

Условие.

2.13* Докажите, что если $f(x; y)$ — симметрический многочлен и пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением уравнения $f(x; y) = 0$, то пара чисел $(y_0; x_0)$ также является решением этого уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

По определению, многочлен $f(x; y)$ является симметрическим, если он не изменяется при перестановке его переменных. Это означает, что для любых значений $x$ и $y$ выполняется тождество: $f(x; y) = f(y; x)$.

Из условия задачи мы знаем, что пара чисел $(x_0; y_0)$ является решением уравнения $f(x; y) = 0$. Это значит, что при подстановке $x = x_0$ и $y = y_0$ в уравнение, мы получаем верное числовое равенство: $f(x_0; y_0) = 0$.

Нам нужно доказать, что пара чисел $(y_0; x_0)$ также является решением этого уравнения. Для этого необходимо показать, что при подстановке $x = y_0$ и $y = x_0$ в уравнение, мы также получим верное равенство, то есть $f(y_0; x_0) = 0$.

Рассмотрим тождество симметричности $f(x; y) = f(y; x)$. Поскольку оно верно для любых значений переменных, оно будет верно и для конкретных чисел $x_0$ и $y_0$. Подставим их в тождество: $f(x_0; y_0) = f(y_0; x_0)$.

Так как нам известно, что $f(x_0; y_0) = 0$, мы можем подставить это значение в левую часть полученного выше равенства: $0 = f(y_0; x_0)$.

Следовательно, $f(y_0; x_0) = 0$. Это и означает, что пара чисел $(y_0; x_0)$ является решением уравнения $f(x; y) = 0$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Из того, что $f(x; y)$ — симметрический многочлен, следует тождество $f(x; y) = f(y; x)$. Если пара $(x_0; y_0)$ является решением уравнения $f(x; y) = 0$, то $f(x_0; y_0) = 0$. В силу тождества симметричности $f(y_0; x_0) = f(x_0; y_0)$, откуда следует, что $f(y_0; x_0) = 0$. Это доказывает, что пара $(y_0; x_0)$ также является решением уравнения.