Номер 2.6, страница 47 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

2.1. Рациональные выражения. § 2. Рациональные уравнения и неравенства. Глава I. Корни, степени, логарифмы - номер 2.6, страница 47.

Упростите выражение (2.6—2.9):

2.6 а) $\frac{5}{x-1} + \frac{x}{x-1}$;

б) $\frac{6}{x-1} + \frac{x}{1-x}$;

в) $\frac{x}{x+2} - \frac{x}{x-2}$;

г) $\frac{1}{x^2-9} + \frac{2-x}{x-3}$.

а) $ \frac{5}{x-1} + \frac{x}{x-1} $

Поскольку знаменатели дробей одинаковы, мы можем сложить их числители, оставив общий знаменатель без изменений. Это правило сложения дробей с одинаковыми знаменателями.

$ \frac{5}{x-1} + \frac{x}{x-1} = \frac{5+x}{x-1} $

Выражение в числителе $x+5$ и в знаменателе $x-1$ не имеют общих множителей, поэтому дальнейшее сокращение дроби невозможно.

Ответ: $ \frac{x+5}{x-1} $.

б) $ \frac{6}{x-1} + \frac{x}{1-x} $

Чтобы сложить дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Заметим, что знаменатели $x-1$ и $1-x$ являются противоположными выражениями, так как $1-x = -(x-1)$. Мы можем изменить знак знаменателя второй дроби, поменяв при этом знак перед самой дробью:

$ \frac{x}{1-x} = \frac{x}{-(x-1)} = -\frac{x}{x-1} $

Теперь исходное выражение можно переписать и выполнить вычитание:

$ \frac{6}{x-1} - \frac{x}{x-1} = \frac{6-x}{x-1} $

Ответ: $ \frac{6-x}{x-1} $.

в) $ \frac{x}{x+2} - \frac{x}{x-2} $

Здесь знаменатели различны. Наименьшим общим знаменателем будет их произведение: $ (x+2)(x-2) $. Приведем обе дроби к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (x-2) $, а второй дроби — на $ (x+2) $:

$ \frac{x(x-2)}{(x+2)(x-2)} - \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} $

Теперь, когда знаменатели одинаковы, выполним вычитание числителей. Знаменатель $ (x+2)(x-2) $ можно записать по формуле разности квадратов как $ x^2-4 $.

$ \frac{x(x-2) - x(x+2)}{x^2-4} $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$ \frac{x^2 - 2x - (x^2 + 2x)}{x^2-4} = \frac{x^2 - 2x - x^2 - 2x}{x^2-4} = \frac{-4x}{x^2-4} $

Ответ: $ \frac{-4x}{x^2 - 4} $.

г) $ \frac{1}{x^2-9} + \frac{2-x}{x-3} $

Сначала разложим знаменатель первой дроби на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:

$ x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x-3)(x+3) $

Теперь выражение выглядит так:

$ \frac{1}{(x-3)(x+3)} + \frac{2-x}{x-3} $

Общим знаменателем является $ (x-3)(x+3) $. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на недостающий множитель $ (x+3) $:

$ \frac{1}{(x-3)(x+3)} + \frac{(2-x)(x+3)}{(x-3)(x+3)} $

Складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{1 + (2-x)(x+3)}{(x-3)(x+3)} $

Раскроем скобки в числителе: $ (2-x)(x+3) = 2x + 6 - x^2 - 3x = -x^2 - x + 6 $.

Подставим это в числитель и приведем подобные:

$ \frac{1 + (-x^2 - x + 6)}{x^2-9} = \frac{-x^2 - x + 7}{x^2-9} $

Ответ: $ \frac{-x^2 - x + 7}{x^2-9} $.